E3
Diskussion des Hauptsatzes

Ergänzungsübung 1

Fertigen Sie eine zweispaltige Tabelle an, deren linke Spalte den aktuellen Kontostand wiedergibt, während in der rechten Spalte die Ein- und Auszahlungen dokumentiert werden. Notieren Sie die mathematischen Eigenschaften dieser Tabelle.

Ergänzungsübung 2

Entwickeln Sie, aufbauend auf die vorangehende Übung, eine diskrete Version des Hauptsatzes. Vergleichen Sie diese Version mit dem Beweis des Hauptsatzes.

Ergänzungsübung 3

Erläutern Sie den Hauptsatz mit Hilfe der Leibnizschen df/dx-Notation als „infinitesimale“ Version einer diskreten Aussage.

Ergänzungsübung 4

Diskutieren Sie die Berechtigung und alle Ungenauigkeiten der Aussage:

„Die Integration ist die Umkehrung der Differentiation.“

Ergänzungsübung 5

Beweisen Sie den Hauptsatz für stetige Funktionen, die stückweise linear sind. Versuchen Sie durch Diagramme möglichst klar herauszuarbeiten, warum der Hauptsatz für diese Funktionen gültig ist.

Ergänzungsübung 6

Betrachten Sie eine „typische“ Treppenfunktion auf [ 0, 1 ] und zeichnen Sie den Graphen der Integralfunktion dieser Treppenfunktion zum Startpunkt 0. Welche Eigenschaften besitzt die Integralfunktion ?

Ergänzungsübung 7

Zeichnen Sie die Betragsfunktion auf [ −1, 1 ] und ihre Integralfunktion

F(x)  =  ∫^x₋₁|t| dt  für alle x  ∈  [ −1, 1 ]

zum Startwert −1.

Ergänzungsübung 8

Sei f : [ a, b ] → [ 0, ∞ [ streng monoton wachsend und stetig differenzierbar. Finden Sie mit Hilfe eines Diagramms eine Integrationsregel für die Umkehrfunktion von f. Beweisen Sie nun die Regel mit Hilfe partieller Integration und der Substitutionsregel. Skizzieren Sie, wieder unterstützt durch Diagramme, einen Beweis der Regel mit Hilfe von Riemann-Summen.

Ergänzungsübung 9

Erläutern Sie die Substitutionsregel mit Hilfe der Leibniz-Notation.

Ergänzungsübung 10

Erläutern Sie mit Hilfe von Diagrammen den geometrischen Gehalt (im Hinblick auf signierte Flächenmessungen) der Substitutionsregel.

Ergänzungsübung 11

Geben Sie Beispiele für Anwendungen der Substitutionsregel mit nichtinjektiven Substitutionsfunktionen s. Wie lässt sich die Identität der Integrale mit unterschiedlichen s-Urbildern an den Integrationsgrenzen deuten?

Ergänzungsübung 12

Interpretieren Sie die zur Berechnung der Kreisfläche durchgeführte Substitution

x  =  s(t)  =  rcos(t)

geometrisch. Kann man hier auch sin(t) statt cos(t) verwenden? Wie ändert sich die Berechnung?