E4
Die Cantor-Menge

In Kapitel 2. 1 haben wir die Cantor-Menge als Schnitt über Mengen C_n eingeführt, die durch Entfernung von mittleren Drittelintervallen definiert waren:

C = ⋂_n C_n.

Wir haben erwähnt, dass C = C* gilt, wobei

C* =	{ x  ∈  [ 0, 1 ] \| x besitzt eine 3-adische Darstellung, in der nur die Ziffern 0 und 2 vorkommen } =
	{ ∑_k ≥ 1 a_k/3^k \| (a_k)_k ≥ 1 ist eine Folge in { 0, 2 } }.

Diese 3-adische Darstellung der Cantor-Menge wollen wir nun untersuchen.

Ergänzungsübung 1

Geben Sie Beispiele für 3-adische Darstellungen, die Elemente von C* bzw. keine Elemente von C* sind. Achten Sie dabei auf die Zweideutigkeit der Darstellungen.

Ergänzungsübung 2

Argumentieren Sie anhand von von Diagrammen, warum

(a) C* ⊆ C, (b) C ⊆ C*.

Ergänzungsübung 3

Wir haben mit Hilfe der Schnittdefinition gezeigt:

(a)	C ist perfekt.

(b)	C ist überabzählbar. Genauer gilt \|C\| = \|ℝ\|.

(c)	C enthält kein Intervall [ a, b ] mit a < b.

Beweisen Sie diese Eigenschaften unter Verwendung der 3-adischen Darstellung der Cantor-Menge. Vergleichen Sie die Argumente mit denen des ursprünglichen Beweises.

Es ist instruktiv, auch das offene Komplement von C zu betrachten:

Ergänzungsübung 4

Betrachten Sie die offene Menge U = ℝ − C und die Zerlegung von U in abzählbar viele offene paarweise disjunkte nichtleere Mengen. Welche Eigenschaften hat diese Zerlegung? Wie lässt sich die Anordnung der Intervalle beschreiben?

Die Konstruktion der Cantor-Menge lässt sich vielfach variieren. Nicht immer entstehen dabei Riemann-integrierbare Indikatorfunktionen:

Ergänzungsübung 5

Definieren Sie in Analogie zur Definition der Mengen C_n abgeschlossene Intervalle D_n, indem sie aus D₀ = [ 0, 1 ] wiederholt gewisse offene Mittelintervalle entfernen, deren Länge nun nicht mehr notwendig ein Drittel der Länge des betrachteten Intervalls sein muss. Welche Eigenschaften hat die Menge D = ⋂_{n  ∈  ℕ} D_n? Wann ist 1_D : [ 0, 1 ] → ℝ Riemann-integrierbar? An welchen Stellen ist 1_D unstetig?

Ergänzungsübung 6

Ordnen Sie jedem entfernten Drittelintervall der Konstruktion der Cantor-Menge eine endliche (evtl. leere) Folge in { −1, 1 } zu und definieren Sie mit Hilfe dieser Folgen den Wert, den die Cantor-Funktion auf einem dieser Intervalle konstant annimmt.

Ergänzungsübung 7

Wir haben angegeben, dass sich die Cantor-Funktion auch durch

f(∑_k ≥ 1^a_k_3^k) = ∑_k ≥ 1 ^b_k_2^k für alle Folgen (a_k)_k ≥ 1 in { 0, 1, 2 }.

darstellen lässt, wobei die b_k-Folge aus der a_k-Folge durch Nullsetzen nach der ersten 1 gefolgt von einem Ersetzen jeder 2 durch eine 1 entsteht. Zeigen Sie, dass diese Definition gleichwertig ist zu:

f (x) = ¹_2ⁿ + ∑_{1 ≤ k < n}^a_k/2_2^k,	für x = ∑_k ≥ 1 ^a_k_3^k, a_n = 1, a_k ≠ 1 für k < n,
f (x) = ∑_k ≥ 1^a_k/2_2^k,	für x = ∑_k ≥ 1^a_k_3^k, a_k  ∈  { 0, 2 } für alle k.

Zeigen Sie nun, dass diese Darstellungen die Cantor-Funktion definieren.