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Kompaktheitsargumente

 Wir betrachten zunächst einige häufig anzutreffende Fehlvorstellungen über den Kompaktheitsbegriff.

Ergänzungsübung 1

Geben Sie hilfreiche und mit Beispielen versehene Korrekturen der folgenden Aussagen:

„X ist kompakt, wenn es eine endliche Überdeckung von X mit offenen Mengen gibt.“

„X ist kompakt, wenn jede offene Überdeckung von X endlich ist.“

„X ist kompakt, wenn jede Überdeckung von X endlich viele Elemente enthält, die X überdecken.“

 Die drei folgenden Übungen sollen helfen, sich mit dem Begriff spielerisch anhand konkreter Mengen anzufreunden.

Ergänzungsübung 2

Versuchen Sie, das Intervall [ 0, 1 ] mit unendlich vielen offenen Intervallen so zu überdecken, dass endlich viele Intervalle nicht ausreichen. Formulieren Sie, warum Ihr Ansatz scheitert. Ziehen Sie zum Vergleich eine offene nicht endlich reduzierbare Überdeckung von [ 0, 1 [ heran.

Ergänzungsübung 3

Wiederholen Sie die Beweisführung der Kompaktheit von [ 0, 1 ] in ℝ für die Kreislinie K = { (x, y)  ∈  ℝ2 | ∥(x, y)∥ = 1 }. Zeichnen Sie eine Skizze, die den Grundgedanken der Argumentation verdeutlicht.

Ergänzungsübung 4

Für p0  ∈  ℝ2 und ε > 0 sei Kε(p0) = { p  ∈  ℝ2 | ∥ p − p0∥ = ε }. Weiter sei

C  =  ⋃n ≥ 1 K1/n((1/n, 0)).

(a)

Skizzieren Sie die Menge C.

(b)

Aus welchem allgemeinen Satz folgt, dass C kompakt ist?

(c)

Zeigen Sie ohne Verwendung des allgemeinen Satzes, dass C kompakt ist: betrachten Sie eine offene Überdeckung 𝒰 von C und zeigen Sie, dass 𝒰 endlich reduzierbar ist. Sie dürfen dabei verwenden, dass die Kreislinien Kε(p0) kompakt sind (vgl. die vorangehende Übung).

 Unsere Formulierung der Kompaktheit verwendete offene Überdeckungen. Eine analoge Definition mit abgeschlossenen Mengen führt dagegen zu keinem neuen Begriff:

Ergänzungsübung 5

Bestimmen Sie die Teilmengen P von ℝ, die die folgende Eigenschaft besitzen:

„Jede Überdeckung von P mit abgeschlossenen Mengen ist endlich reduzierbar.“

 Dagegen gelangen wir durch Dualisierung der Definition zu einer äquivalenten Formulierung der Kompaktheit mit Hilfe abgeschlossener Mengen. Hierzu definieren wir:

Definition (endliche Durchschnittseigenschaft)

Ein Mengensystem 𝒜 hat die endliche Durchschnittseigenschaft fip, falls gilt:

Für alle A1, …, An  ∈  𝒜 ist A1 ∩ … ∩ An ≠ ∅.

Hier steht „fip“ für engl. „finite intersection property“.

Ergänzungsübung 6

Geben Sie verschiedene Beispiele für fip-Systeme 𝒜. Bestimmen Sie dabei jeweils auch ⋂ 𝒜.

Ergänzungsübung 7

Sei (X, d) ein metrischer Raum. Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:

(a)

X ist kompakt.

(b)

Ist 𝒜 ein fip-System abgeschlossener Mengen in X, so ist ⋂ 𝒜 ≠ ∅.

 Als Anwendung der fip-Formulierung (b) betrachten wir noch einmal das Schachtelungsprinzip.

Ergänzungsübung 8

Beweisen Sie das Schachtelungsprinzip für kompakte metrische Räume mit Hilfe der fip-Formulierung der Kompaktheit.