Inhalt
Vorwort
Die Themen des Buches
1. Abschnitt Integration
1. Das Riemann-Integral
Motivationen
Die verschiedenen Integrationsbegriffe
Partitionen kompakter Intervalle
Riemann-Summen und Riemann-Integral
Elementare Eigenschaften des Integrals
Die Limesformulierung der Integrierbarkeit
Die Berechnung von Integralen durch Riemann-Summen
Eine numerische Betrachtung
Das Integral als Mittelwert
Das Integral für komplexwertige Funktionen
Ausblick: Die Quadratur der Parabel bei Archimedes
2. Darboux-Integral und Jordan-Inhalt
Darboux-Summen
Das Ober-, Unter- und Darboux-Integral
Die Äquivalenz der Integrale
Flächenmessungen in der Ebene
Der Jordan-Inhalt
Ausblick: Inhalte
3. Integrierbare Funktionen
Treppenfunktionen
Stetige Funktionen
Monotone Funktionen
Funktionen mit beschränkter Variation
Regelfunktionen und Regelintegral
Komposition und Produkt
Die Zerlegung in Positiv- und Negativteil
Eine Verletzung der Integrierbarkeitsbedingung
Zur Vertauschbarkeit von Integration und Limesbildung
Ausblick: Charakterisierung der Riemann-Integrierbarkeit
4. Differentiation und Integration
Stammfunktionen
Hauptsatz I: Die Berechnung von Integralen durch Stammfunktionen
Hauptsatz II: Die Existenz von Stammfunktionen für stetige Funktionen
Zusammenfassung
Stammfunktionen und Integrierbarkeit
Ausblick: Zur Ableitung der Integralfunktion
5. Anwendungen des Hauptsatzes
Die partielle Integration
Die Substitutionsregel
Die Kreiszahl π ist irrational
Die Taylor-Formel mit integralem Restglied
Der Vertauschungssatz für Ableitungen
Ausblick: Die Kreisberechnung bei Archimedes
6. Uneigentliche Integrale
Das uneigentliche Riemann-Integral
Das Integralvergleichskriterium
Die Euler-Mascheroni-Konstante
Die Gaußsche Glockenkurve
Die Zissoide des Diokles
Das Dirichlet-Integral
Die Eulersche Gamma-Funktion
Ausblick: Berechnung des Gauß-Integrals
2. Abschnitt Topologische Grundbegriffe
1. Lineare Punktmengen
Einfache Mengen reeller Zahlen
Offene Mengen
Umgebungen
Abgeschlossene Mengen
Die Punktmengenableitung
Perfekte Mengen
Randpunkte und Rand einer Menge
Topologische Operatoren
Cantor-Menge und Cantor-Funktion
Ausblick: Gδ-, Fσ-Mengen und Bairescher Kategoriensatz
2. Topologische Stetigkeit
Relativbegriffe
Die topologische Umgebungsstetigkeit
Die Urbildformulierung der Stetigkeit in allen Punkten
Stetigkeit als Erhalt von Nähe
Ausblick: Stetigkeitsmengen
3. Metrische Räume
Abstände und Normen
Produkte von metrischen Räumen
Abstände aus Normen
Die p-Normen
Normen aus Skalarprodukten
Parallelogrammgleichung und Polarisation
Normen für Matrizen
Erweiterung des Messens
Semimetriken und Seminormen
Konvergenz und Vollständigkeit in metrischen Räumen
Die Vervollständigung eines metrischen Raumes
Stetigkeit in metrischen Räumen
Der Banachsche Fixpunktsatz
Ausblick: Metrisierung von unendlichen Produkten
4. Topologie metrischer Räume
Die topologische Stetigkeit
Numerische und topologische Äquivalenz
Zusammenhang und Zusammenhangskomponenten
Der Wegzusammenhang
Separable metrische Räume und abzählbare Basen
Topologische Räume
Metrisierbarkeit von topologischen Räumen
Die topologische Stetigkeit, II
Ausblick: Konvergenz in topologischen Räumen
5. Kompaktheit in ℝ
Überdeckungen
Offene Überdeckungen kompakter Intervalle
Der topologische Kompaktheitsbegriff
Charakterisierung der kompakten Teilmengen von ℝ
Stetige Bilder kompakter Mengen
Der Satz von Heine
Ausblick: Charakterisierung der Riemann-Integrierbarkeit
6. Kompakte metrische Räume
Kompaktheit in metrischen Räumen
Kompaktheit versus „abgeschlossen und beschränkt“
Die Bolzano-Weierstraß-Eigenschaft und Folgenkompaktheit
Die Kompaktheit von Produkten
Kompaktheit und Beschränktheit
Stetige Funktionen auf kompakten Räumen
Lebesgue-Zahlen und der Satz von Heine
Kompakte topologische Räume
Ausblick: Die Hausdorff-Metrik
3. Abschnitt Mehrdimensionale Differentiation
1. Kurven
Kurven und Parametrisierungen
Tangentialvektoren und Momentangeschwindigkeiten
Ausblick: Peano-Kurven
2. Rektifizierbare Kurven
Die Länge einer Kurve
Rektifizierbarkeit und beschränkte Variation
Bogenlängen-Kurven
Die Krümmung einer ebenen Kurve
Kurvenintegrale für reellwertige Funktionen
Ausblick: Kurvenintegrale für Vektorfelder
3. Mehrdimensionale Differenzierbarkeit
Mehrdimensionale Funktionen und ihre Visualisierung
Konventionen und Notationen
Jacobi-Matrix und Differential
Das Differential als Funktion
Mehrdimensionale Ableitungsregeln
Der Mittelwertsatz
Implizite Funktionen
Ausblick: Beweis des Hauptsatzes über implizite Funktionen
4. Partielle Ableitungen
Das Differenzierbarkeitskriterium
Mehrfache partielle Ableitungen
Parameterabhängige Integrale
Ausblick: Gegenbeispiele
5. Die Differentialoperatoren
Gradient, Richtungsableitung und Nabla-Operator
Vektorfelder und Gradientenfelder
Divergenz eines Vektorfeldes und Laplace-Operator
Die Rotation
Rechenregeln für die Differentialoperatoren
Ausblick: Kurvenintegrale in Gradientenfeldern
6. Taylor-Entwicklung und lokale Extremwerte
Vorbereitungen
Mehrdimensionale Taylor-Polynome
Schmiegequadriken
Eine alternative Darstellung der Taylor-Polynome
Der Satz von Taylor
Lokale Extremwerte
Bedingte Extremalstellen und Lagrange-Multiplikatoren
Tangentialräume
Ausblick: Der Spektralsatz für symmetrische Matrizen
4. Abschnitt Überblickswissen Fourier-Reihen
Trigonometrische Reihen
Reelle und komplexe Fourier-Reihen
Der Konvergenzsatz von Dirichlet
Die Bessel-Ungleichung und gleichmäßige Konvergenz
Weitere Konvergenzergebnisse
Bestimmung einiger Fourier-Reihen
Die Konvergenz im quadratischen Mittel
Der Konvergenzsatz für integrierbare Funktionen
Der Satz von Parseval
Ausblick: Die Fourier-Transformation
5. Abschnitt Überblickswissen Gewöhnliche Differentialgleichungen
Erste Beispiele
Differentialgleichungen und Anfangswertprobleme
Das Richtungsfeld
Lineare Differentialgleichungen
Differentialgleichungen mit getrennten Variablen
Die Differentialgleichung y″ = φ(y)
Der Existenz- und Eindeutigkeitssatz
Systeme von Differentialgleichungen
Lineare Systeme
Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten
Der harmonische Oszillator
Matrixexponentiale
Die ortsabhängige Beschleunigung in einer Dimension
Ausblick: Kreispendel und Zykloidenpendel
6. Abschnitt Überblickswissen Mehrdimensionale Integration
Das Riemann-Integral für höhere Dimensionen
Mehrfache eindimensionale Integrale
Das Cavalierische Prinzip
Inhalte von Rotationsflächen
Polar- und Zylinderkoordinaten
Die Transformationsformel
Ausblick: Oberflächen von Funktionsgraphen
Exkurs Von der Partialbruchzerlegung zu den elliptischen Funktionen
Die Partialbruchzerlegung
Zur Integration rationaler Funktionen
Elliptische Integrale
Elliptische Funktionen
Die Lösung des Kreispendels
Ergänzungen
E1 Anschauung und Definition des Integrals
E2 Aneignung des Integralbegriffs
E3 Diskussion des Hauptsatzes
E4 Die Cantor-Menge
E5 Topologische Visualisierungen
E6 Kompaktheitsargumente
E7 Die Sektorformel von Leibniz
E8 Der Ableitungsbegriff im ℝn
E9 Gradient, Divergenz und Rotation
E10 Kennenlernen von Fourier-Reihen
E11 Das Fadenpendel
E12 Doppelintegrale und Cavalierisches Prinzip
Übungen
1.1 Das Riemann-Integral
1.2 Darboux-Integral und Jordan-Inhalt
1.3 Integrierbare Funktionen
1.4 Differentiation und Integration
1.5 Anwendungen des Hauptsatzes
1.6 Uneigentliche Integrale
2.1 Lineare Punktmengen
2.2 Topologische Formulierungen der Stetigkeit
2.3 Metrische Räume
2.4 Topologie metrischer Räume
2.5 Kompaktheit in ℝ
2.6 Kompaktheit in metrischen Räumen
3.1 Kurven
3.2 Rektifizierbare Kurven
3.3 Mehrdimensionale Differenzierbarkeit
3.4 Partielle Ableitungen
3.5 Die Differentialoperatoren
3.6 Taylor-Entwicklung und lokale Extremwerte
4. Fourier-Reihen
5. Gewöhnliche Differentialgleichungen
6. Mehrdimensionale Integration
Anhänge
1. Bezüge zur Schulmathematik
2. Literatur
3. Notationen
4. Index