Harmonische Zahlen und die Euler-Mascheroni-Konstante

Definition (harmonische Zahlen)

Für alle n ≥ 1 heißt

h_n = ∑_{1 ≤ k ≤ n} 1/k

die n-te harmonische Zahl. Weiter setzen wir h₀ = 0.

Die harmonischen Zahlen hängen wegen d/dx log(x) = 1/x eng mit der reellen Logarithmus-Funktion zusammen. Wir setzen für alle n ≥ 1:

A_n = ¹_n − ∫^n + 1_n ¹_x = ¹_n − (log(n + 1) − log(n)) = ¹_n − log(1 + 1/n).

γ = ∑_n ≥ 1 A_n(Euler-Mascheroni-Konstante)

Nach Definition gilt

γ = ∑_n ≥ 1 (1/n − log(1 + 1/n)), 1 − γ = ∑_n ≥ 1 (log(1 + 1/n) − 1/(n + 1)).

Die Treppe 1/⌊ x ⌋ (blau) im Vergleich mit der Hyperbel 1/x (gelb) auf [ 1, ∞ [. Auf [ 1, n ] ist die Fläche unter der Treppe gleich h_n − 1 und die Fläche unter 1/x gleich log(n). Die gesamte hellblaue Differenzfläche hat den Inhalt γ.

Eine Translation der Flächen A_n nach links zeigt γ als Teilfläche von [ 0, 1 ]². Ein Vergleich mit Dreiecksflächen ergibt A₁ > 1/4, A₂ > 1/8, …, sodass γ > 1/2. Numerisch ist γ = 0,57721… Die weiße Komplementärfläche ist 1 − γ.

Summation liefert:

∑_{1 ≤ k ≤ n} A_k = h_n − log(n + 1) für alle n ≥ 1.

Damit erhalten wir:

Satz (Limesdarstellung der Euler-Mascheroni-Konstanten)

Es gilt

γ = lim_n (h_n − log(n + 1)) = lim_n (h_n − log(n)).

Die Folge (h_n − log(n + 1))_n ≥ 1 ist streng monoton steigend, die Folge (h_n − log(n))_n ≥ 1 streng monoton fallend. Insbesondere gilt

h_n − log(n + 1) < γ < h_n − log(n) für alle n ≥ 1.

Mit γ_n = h_n − log(n) gilt γ = lim_n γ_n = inf_n γ_n. Dies wird oft zur Definition von γ verwendet. Geometrisch ist h_n − log(n + 1) = γ_n + 1 − 1/(n + 1) natürlicher. Als Fläche ist γ_n die Fläche A₁, …, A_n − 1 zusammen mit der vollen Treppenstufe 1/n. Der Leser ist aufgerufen, sich „monoton fallend“ für (γ_n)_n ≥ 1 anhand des Diagramms klar zu machen.

Beidseitige Abschätzung

Da f (x) = 1/x auf [ 1, ∞ [ konvex und streng monoton fallend ist, gilt für k ≥ 1:

(+) ¹_{2 k (k + 1)} = ¹₂(¹_k − ¹_k + 1) < A_k < ¹_k − ¹_k + 1 = ¹_{k (k + 1)}.

Sei n ≥ 1. Wir verwenden die elementare Summenformel

r_n = ∑_k ≥ n ¹_{k (k + 1)} = 1 − ^n − 1_n = ¹_n.

Mit

∑_k ≥ n A_k = γ − ∑_{1 ≤ k < n} A_k = γ − h_n − 1 + log(n)

erhalten wir durch Summation von (+) ab n:

¹_2n < γ − h_n − 1 + log(n) < ¹_n.

Umstellen ergibt

log(n) − ¹_n + γ < h_n − 1 < log(n) − ¹_2n + γ.

Die Addition von 1/n liefert schließlich

(1) log(n) + γ < h_n < log(n) + ¹_2 n + γ.

Verbesserung der Abschätzung

Unsere log-Ungleichung

²_2k + 1 < log(1 + 1/k) < ^2k + 1_{2 k (k + 1)}

liefert für k ≥ 1 die auf der rechten Seite verschärfte Abschätzung

¹_{2 k (k + 1)} < A_k = 1/k − log(1 + 1/k) < ¹_{k (2k + 1)} ≤ ¹_{k (k + 2)}.

Sei n ≥ 1. Mit der Summenformel

r_n = ∑_k ≥ n ¹_{k (k + 2)} = ¹₂(¹_n + ¹_n + 1)(mit r₁ = 3/4)

ergibt sich nun

¹_2n < γ − h_n − 1 + log(n) < ¹₂(¹_n + ¹_n + 1).

Eine Umformung wie oben ergibt:

(2) log(n) + ¹_{2 n (n + 1)} + γ < h_n < log(n) + ¹_2n + γ.

Die harmonischen Zahlen (blaue Punkte) liegen im durch

f₁(x) = log(x) + ¹_{2 x (x + 1)} + γ (gelb), f₂(x) = log(x) + ¹_2 x + γ (grün)

definierten Bereich.

Bemerkung

Der Vergleich mit Treppenfunktionen verwendet keine speziellen Eigenschaften des Logarithmus. Er lässt sich allgemein für monoton fallende Funktionen mit positiven Werten durchführen. Im Kapitel über die Abschätzung der Fakultät werden wir zudem einen Integralvergleich für die monoton steigende und konkave Funktion log durchführen. Hier ist der γ entsprechende Treppenfehler unendlich. Diese Problem lässt sich aber durch die Verwendung von Trapezen statt Stufen lösen. Weiter werden wir im Kapitel über Summen und Mittel die Differenz zwischen h_n und log(n) noch wesentlich genauer abschätzen. Damit lässt sich der gestrichelte Bereich des obigen Diagramms noch wesentlich verkleinern.

Die harmonischen Zahlen teilen viele Eigenschaften mit dem Logarithmus. Es gilt zum Beispiel (Übung):

Satz (Summen harmonischer Zahlen)

Für alle n ≥ 1 gilt

∑_{1 ≤ k ≤ n} h_k = (n + 1) h_n − n,

∑_{1 ≤ k < n} h_k = n h_n − 1 − n + 1.

Die zweite Formel ist vollkommen analog zu

∫ⁿ₁ log(x) dx = ${[x (log (x) - 1)]}_{1}^{n}$ = n (log(n) − 1) + 1 = n log(n) − n + 1.

Aus der geometrischen Summe 1 + t + … + t_n − 1 = (1 − tⁿ)/(1 − t) erhalten wir:

Satz (Integraldarstellung von Euler für die harmonischen Zahlen)

Es gilt

h_n = ∫¹₀ ^1 − tⁿ_1 − t dt für alle n ≥ 0.

Mit der Integraldarstellung lässt sich h_x und allgemeiner h_z definieren für alle z  ∈  ℂ^− ℕ* = ℂ − { −1, − 2, − 3 }, indem wir den Exponenten n durch z ersetzen. Wir kommen im Kapitel über die Digamma-Funktion auf die analytische Interpolation der harmonischen Zahlen zurück.