Der Weg über Bernoulli-Zahlen
Die Werte der Zeta-Funktion an geraden Zahlen lassen sich nicht nur mit Hilfe des ausmultiplizierten Sinus-Produkts, sondern auch mit Hilfe der Kotangensreihe finden. Es gilt, wie wir durch logarithmisches Differenzieren von
sin(π z) = π z ∏n (1 − z2n2)
gezeigt haben:
π cot(π z) = 1z − ∑n 2zn2 − z2 für alle z ∈ ℂ − ℤ.
Wieder einmal ist es die geometrische Reihe, die uns nun weiterbringt. Mit der durch die normale Konvergenz möglichen freien Umordnung gilt für alle z mit |z| < 1 (nach wie vor mit Summen ab 1):
| ∑n 2zn2 − z2 | = 2z ∑n (z/n)21 − (z/n)2 = 2z ∑n ∑k (z2/n2)k |
| = 2z ∑k ∑n z2kn2k = 2 ∑k ζ(2k) z2k − 1. |
Dabei haben wir im zweiten Schritt die Formel für die geometrische Reihe ab dem Index 1 verwendet. Wegen |z| < 1 ist auch |z/n| < 1 für alle n ≥ 1. Damit haben wir gezeigt:
Satz (Laurent-Reihenentwicklung des Kotangens mit ζ-Koeffizienten)
Für alle z ∈ U1(0)* gilt:
π cot(π z) = 1z − 2 ∑n ζ(2n) z2n − 1.
Die Zetawerte an den geraden Zahlen tauchen also in der Laurent-Reihenentwicklung des Kotangens auf − mit Entwicklungspunkt 0 und einem dortigen einfachen Pol. Aufgrund der Eindeutigkeit der Reihendarstellung können wir durch einen Koeffizientenvergleich die Werte ζ(2k) berechnet, vorausgesetzt, es liegt eine „übliche“, ζ-freie Entwicklung des Kotangens vor. Leider sind die höheren Ableitungen des Tangens und Kotangens nicht leicht zu berechnen, sodass wir für diese Funktionen nicht so einfach Entwicklungen wie für exp, cos, sin, log oder auch arctan hinschreiben können. Wir müssen uns Mühe geben. Hierbei hilft uns die Exponentialfunktion, aus der sich ja die trigonometrischen Funktionen gewinnen lassen. Als Ausgangspunkt hat sich die folgende Funktion und ihre (zunächst ebenfalls nicht bekannte) Potenzreihenentwicklung bewährt (vgl. auch „Potenzreihen“ in Analysis 1):
Definition (Bernoulli-Zahlen)
Sei P = ℂ − { k 2 π i | k ∈ ℤ* }. Wir definieren bern : P → ℂ durch
bern(z) = zez − 1 für alle z ∈ P, bern(0) = 1.
Die Folge der Bernoulli-Zahlen (Bn)n ∈ ℕ ist nun definiert durch die Potenzreihenentwicklung
| bern(z) | = B0 + B1 z + B22 z2 + … + Bnn! zn + … |
| = ∑n ≥ 0 Bnn! zn für alle z mit |z| < 2π. |
Kurz: Die Funktion bern ist die exponentiell erzeugende Funktion der Bernoulli-Zahlen. Die Funktion hat in der Literatur leider keinen Namen. Die Namensgebung erinnert an „Bernoulli“ (und mit einem Augenzwinkern im Umfeld des Basler Problems auch an „Bern“).
Der Konvergenzradius der Reihendarstellung von bern ist 2π. Die Funktion hat bei ± 2 π i die ersten Pole, und nach dem Entwicklungssatz ist 2π auch tatsächlich der Konvergenzradius.
Die Funktion bern(z) = z/(exp(z) − 1), stetig fortgesetzt nach 0 durch bern(0) = 1. Die Funktion hat einfache Pole bei ± 2πi, ± 4 π i, … In der linken Halbebene wird die Funktion im Betrag schnell sehr groß. In der rechten Halbebene sehen wir leicht ein leicht verzerrtes waagrechtes exp-Streifenmuster mit kleinen Beträgen.
Um die Funktion besser zu verstehen, berechnen wir:
Gerader und ungerader Anteil
Der gerade Anteil von bern berechnet sich (mit stetiger Fortsetzung im Fall z = 0) zu
| bern+(z) | = 12(bern(z) + bern(− z)) = z2 e− z − ez(ez − 1)(e−z − 1) |
| = z2 ez + 1ez − 1 = z2 coth(z/2) für alle z ∈ P. |
Einfacher ist der ungerade Anteil mit
bern−(z) = 12 (bern(z) − bern(− z)) = − z2 für alle z ∈ P.
Der Leser vergleiche dies mit unserer Definition des Kosinus und Sinus Hyperbolicus in der Analysis 1: cosh = exp+ (gerader Anteil), sinh = exp− (ungerader Anteil). Bei wichtigen Funktionen lohnt es sich oft, die versteckten Symmetrien ans Licht zu bringen. Der ungerade Anteil ist fast trivial. Dagegen bringt der gerade Anteil natürlich und fast magisch den Kotangens Hyperbolicus ans Licht. Er verhält sich zur Funktion bern wie der cosh zu exp.
Damit gilt für alle z ∈ P:
(+) bern(z) = bern−(z) + bern+(z) = − z2 + z2 coth(z/2).
Die Funktion z/2 coth(z/2) ist gerade, sodass die ungeraden Koeffizienten ihrer Reihenentwicklung bei 0 wegfallen. Damit erhalten wir aus (+) nach Definition der Bernoulli-Zahlen:
(1) | B1 = − 1/2, B2n + 1 = 0 für alle n ≥ 1, |
(2) | bern(z) = 1 − z2 + ∑n ≥ 1 B2n(2n)! z2n für |z| < 2π, |
(3) | coth(z) = 1z + ∑n ≥ 1 B2n(2n)! 22n z2n − 1 für |z| < π, z ≠ 0. |
Beispiele
Die Berechnung der ersten Ableitungen von bern liefert (Übung):
B0 = 1, B2 = 1/6, B4 = − 1/30.
Mit einem Computer lassen sich weiter finden:
B6 = 1/42, B8 = − 1/30, B10 = 5/66, B12 = − 691/2730, B14 = 7/6,
B16 = − 3617/510, B18 = 43867/798, B20 = − 174611/330.
Das ist eine rechte wilde Liste. Die Bernoulli-Zahlen sind rationale Zahlen, da alle Ableitungen von bern rationale Funktionen in ez sind und damit alle Taylor-Koeffizienten an der Stelle 0 rational sind. Wir werden gleich zeigen, wie sie sich ohne Verwendung der höheren Ableitungen einfacher berechnen lassen. Zunächst wollen wir noch den Bezug zu den Werten ζ(2n) herstellen.
Mit der Umrechnungsformel cot(z) = i coth(iz) erhalten wir für z ∈ Uπ(0)*:
| cot(z) | = i coth (iz) = iiz + i ∑n ≥ 1 B2n(2n)! 22n (i z)2n − 1 |
| = 1z + ∑n ≥ 1 (−1)n B2n(2n)! 22n z2n − 1.(Laurent-Reihe des Kotangens) |
Wir haben also für alle z ∈ U1(0)* die beiden Darstellungen:
π cot(π z) = 1z + ∑n ≥ 1 (−1)n B2n(2n)! 22n π2n z2n − 1,
π cot(π z) = 1z − 2 ∑n ζ(2n) z2n − 1.
Durch Koeffizientenvergleich erhalten wir mit ζ(2n) > 0, dass die Koeffizienten des Hauptteils der Kotangensentwicklung durchweg negativ sind. Folglich alternieren die Vorzeichen der Bernoulli-Zahlen B2, B4, B6, … Weiter zeigt dieser Vergleich:
Satz (Zetawerte und Bernoulli-Zahlen)
Für alle n ≥ 1 gilt
ζ(2n) = 22n − 1 |B2n|(2n)! π2n = (−1)n − 1 (2π)2n2 (2n)! B2n.
Damit ist ζ(2n) ein rationales Vielfaches von π2n. Aus der Tabelle für die Bernoulli-Zahlen oben wird folgende Tabelle für Zeta-Werte:
Beispiele
ζ(2) = π26, ζ(4) = π490, ζ(6) = π6945, ζ(8) = π89450,
ζ(10) = π1093555, ζ(12) = 691638512875 π12, ζ(14) = 218243225 π14,
ζ(16) = 3617325641566250 π16, ζ(18) = 4386738979295480125 π18,
ζ(20) = 1746111531329465290625 π20.