Erweiterung des Konvergenzbereichs einer Reihe
Wie ist es überhaupt möglich, den Konvergenzbereich einer Reihe wie der Zeta-Reihe ∑n ≥ 1 n− s auszudehnen? Wir möchten eine neue „verwandte“ Reihe finden, die auf der ganzen rechten Halbebene H oder noch größeren Gebieten konvergiert und dabei auf H1 mit der Zeta-Funktion übereinstimmt (den Punkt 1 nehmen wir dabei immer aus oder sehen ihn als Pol mit Wert ∞ an).
Wir motivieren die Konstruktion durch einige allgemeine Überlegungen. Liegt eine (konvergente oder divergente) Reihe
∑n ≥ 1 cn = c0 + c1 + c2 + …
komplexer Zahlen vor, so können wir die Summanden cn durch Differenzen unserer Wahl ersetzen:
∑n ≥ 1 cn = (a1 − b1) + (a2 − b2) + (a3 − b3) + …
Konvergieren die neuen Folgen (an)n ≥ 1 und (bn)n ≥ 1 gegen 0, so können wir Neuorganisationen wie
∑n ≥ 1 cn = − b1 + (a1 − b2) + (a2 − b3) + (a3 − b4) + …(Subtrahenden-Shift)
vornehmen, ohne das Konvergenzverhalten und den Wert der Reihe zu verändern. Denn für die Partialsummen sn und tn der Reihen gilt |sn − tn| = |an|, und dies konvergiert nach Voraussetzung gegen 0. Für dieses Argument wird keine absolute Konvergenz benötigt. Nun kommt der entscheidende Punkt: Wir verzichten auf die Voraussetzung, dass die neuen Folgen Nullfolgen sind. Dann kann eine der beiden Reihen konvergieren und die andere divergieren.
Beispiel
Für an = n + 1/2n und bn = n − 1 gilt:
(1 + 1/2 − 0) + (2 + 1/22 − 1) + (3 + 1/23 − 2) + … divergiert,
0 + ((1 + 1/2 − 1) + (2 + 1/22 − 2) + (3 + 1/23 − 3) + … konvergiert.
Die Fortsetzung der Zeta-Reihe nach H erfordert nun die Konstruktion von Hilfsfolgen (an(s))n ≥ 1 und (bn(s))n ≥ 1 mit
(1) | − b0(s) + ∑n ≥ 1 (an(s) − bn + 1(s)) = ∑n n− s auf H1, |
(2) | ∑n ≥ 1 (an(s) − bn(s)) konvergiert analytisch auf H. |
Dies lässt sich, wie wir nun zeigen wollen, tatsächlich durchführen. Die Hilfsfolgen gewinnen wir durch Integration. Sie sind Nullfolgen auf H1 und divergent auf dem neuen Streifen.
Den Subtrahenden-Shift haben wir hier exemplarisch gewählt. Die Idee lässt viele Varianten zu.