Die komplexen Zahlen
Übung 1
Schreiben Sie die folgenden komplexen Zahlen und ihre Kehrwerte in der Re-Im-Form x + iy (mit x,y ∈ ℝ):
(a) 3 − 2i5i − 1, (b) 1 + i− 7, (c) 13 i(i − 3)2.
Übung 2
Rechnen Sie in Polarkoordinaten bzw. kartesische Koordinaten um:
1 + i, −1 + 10 i, (2, − π/4)polar, (1, π/8)polar, (2, 4π/3)polar.
Übung 3
Seien z, w ∈ ℂ mit |z| = 1 oder |w| = 1. Zeigen Sie, dass |z − w| = |1 − z w|.
Übung 4
Begründen Sie die Formeln z z = |z|2 und z−1 = z/|z2| für z ≠ 0 anschaulich mit Hilfe der geometrischen Multiplikationsregel.
Übung 5
Sei f : ℂ → ℂ. Eine Menge A ⊆ ℂ heißt invariant für f, falls f [ A ] = A mit dem Bild f [ A ] = { f (z) | z ∈ A } von A unter f. Geben Sie möglichst viele instruktive (und von ∅ und ℂ verschiedene) Beispiele für invariante Mengen für die folgenden Funktionen:
f (z) = z2, g(z) = i z, h(z) = z.
Übung 6
Skizzieren Sie die folgenden Teilmengen der komplexen Zahlenebene:
(a) | A = { i z | |z − 1 − i| < 1 }, |
(b) | B = { z2 | Re(z) ∈ [ 0, 1 ] }, |
(c) | C = { z | Re(z3) < 0, Im(z3) < 0 }, |
(d) | D = { z | |ez| < 1, Re(ez) < 0, Im(ez) > 0 }. |
Übung 7
Geben Sie alle Lösungen der Gleichung z4 + z3 + z2 + z + 1 = 0 in z ∈ ℂ an.
Übung 8
Skizzieren Sie die Menge { z ∈ ℂ | |z + 1| |z − 1| = 1 }.
Übung 9
Sei ∏n xn ein unendliches Produkt mit reellen Faktoren xn ∈ ] 0, ∞ [. Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:
(a) | ∏n xn konvergiert. |
(b) | ∑n log(xn) konvergiert. |
Übung 10
Zeigen Sie, dass für alle z w ∈ ℂ gilt:
(a) | |z ± w|2 = |z|2 ± 2 Re(z w) + |w|2, |
(b) | |z + w|2 + |z − w|2 = 2(|z|2 + |w|2). |