Tangens und Kotangens
Wir definieren den komplexen Tangens und Kotangens durch
tan = sincos, cot = cossin
mit maximalen Definitionsbereichen. Da die komplexen Nullstellen des Sinus und Kosinus genau die reellen Nullstellen sind, haben die komplexen Versionen des Tangens und Kotangens die aus dem Reellen bekannten Definitionslücken. Es gilt also
tan : ℂ − (π/2 + π ℤ) → ℂ, cot : ℂ − π ℤ → ℂ.
Nach stetiger 0-Fortsetzung gilt cot = 1/tan und tan = 1/cot. Aus den Kosinus-Sinus-Formeln ergeben sich viele Formeln für den Tangens und Kotangens:
Exponentialdarstellung des Tangens und Kotangens
Setzen wir die Standardformeln für den Kosinus und Sinus ein und erweitern wir die Brüche mit exp(iz), so ergeben sich die auf den Definitionsbereichen gültigen Formeln
tan(z) = exp(iz) − exp(−iz)i (exp(iz) + exp(−iz)) = − i exp(2iz) − 1exp(2iz) + 1,
cot(z) = i (exp(iz) + exp(−iz))exp(iz) − exp(−iz) = i exp(2iz) + 1exp(2iz) − 1.
Werteverhalten, I
Ist z = x + iy mit x, y ∈ ℝ, so gilt
exp(2iz) = exp(− 2y) exp(2ix).
Ist y negativ und im Betrag groß, so stimmen der Zähler und Nenner in den rechten Exponentialformeln fast überein, sodass
tan(z) ∼ − i, cot(z) ∼ i.
Ist y positiv und im Betrag groß, so ist exp(2iz) im Betrag klein, sodass
tan(z) ∼ i, cot(z) ∼ − i.
Dies ergibt sich auch aus der ersten Asymptotik durch die Symmetrie
tan(−z) = − tan(z), cot(−z) = − cot(z).
Die Überlegung erklärt die Dominanz von i-Grün und (−i)-Violett in den folgenden Diagrammen.
Werteverhalten, II
Die Exponentialdarstellungen des Tangens und Kotangens involvieren die rationalen biholomorphen Funktionen f : ℂ − { −1 } → ℂ − { 1 } und g : ℂ − { 1 } → ℂ − { 1 } mit
f (z) = z − 1z + 1, g(z) = z + 1z − 1.
Es gilt (Übung):
(a) | f −1 = − g, g−1 = g (d. h. g ist eine Involution), |
(b) | f[ ] −∞, 0 [ − { −1 } ] = ℝ − [ −1, 1 ], g[ ] −∞, 0 [ ] = ] −1, 1 [. |
Sei h : ℂ → ℂ definiert durch
h(z) = exp(2iz) für alle z ∈ ℂ.
Die Funktion h bildet jeden senkrechten halboffenen Steifen S(I) der Breite π bijektiv auf ℂ* ab, bei offenen Streifen fehlt ein Halbstrahl. Nach den obigen Formeln gilt für alle definierten Stellen:
tan(z) = − i f (h(z)), cot(z) = i g(h(z)).
Mit den senkrechten offenen Streifen S0 = S(] − π/2, π/2 [) und S1 = S(] 0, π [) der Breite π erhalten wir zusammen mit (a) und (b):
tan : S0 → i ℂ− − biholomorph,
cot : S1 → i ℂ− −, cot : S0* → ℂ − i [ −1, 1 ] jeweils biholomorph.
Auf der imaginären Achse von tan und cot finden wir die mit i bzw. − i multiplizierten reellen hyperbolischen Funktionen tanh und coth (vgl. die folgenden Formeln).
Weitere Formeln
(1) | Für alle y ∈ ℝ gilt: tan(i y) = i tanh(y) ∈ i ] −1, 1 [ , cot(i y) = − i coth(y) ∈ i (ℝ − [ −1, 1 ]).(Werte auf der i-Achse) |
(2) | Unter der Voraussetzung der Definiertheit gilt: tan(− z) = − tan(z), cot(− z) = − cot(z),(Parität) tan(z) = tan(z ± π), cot(z) = cot(z ± π),(Periode) cot(z) = tan(π/2 − z), tan(z) = cot(π/2 − z), tan(z + π/2) = − cot(z), cot(z + π/2) = − tan(z).(π/2-Formeln) |
(3) | Es gelten (wieder unter der Voraussetzung der Definiertheit): tan(z + w) = tan(z) + tan(w)1 − tan(z) tan(w), cot(z + w) = cot(z) cot(w) − 1cot(z) + cot(w).(Additionstheoreme) |
Eine Periode des komplexen Tangens mit einer Nullstelle bei 0 und Polen bei ± π/2.
Verlauf des komplexen Kotangens auf der x-Achse und den Senkrechten durch 0 und ± π/2 (gestrichelt) mit Anzeige der Quadranten der Werte.
Eineinhalb Perioden des komplexen Kotangens, puristisch ohne Gitter. Die Periodenwahl hat folgenden Grund: Wir werden später zwei Versionen des Arkuskotangens diskutieren. Eine verwendet den Streifen S(] 0, π [) zur Umkehrung, die andere den punktierten Streifen S(] −π/2, π/2 [)*.
Verlauf des komplexen Kotangens auf der x-Achse und den Senkrechten durch 0, π sowie ± π/2 (gestrichelt), mit Quadrantenangabe der Werte in den sechs eingeschlossenen Bereichen.
3d-Plot einer Periode des Tangens im Streifen S([ − π/2, π/2 ]).
Eineinhalb Perioden des Kotangens im Streifen S([ − π/2, π ]).