Sekans und Kosekans
Wir definieren den komplexen Sekans und Kosekans wie im Reellen durch
sec = 1cos, csc = 1sin,
wie immer mit maximalen komplexen Definitionsbereichen. Diese Definitionsbereiche entsprechen denen des komplexen Tangens bzw. Kotangens. Die Funktionen tauchen in vielen Integralen auf und gehören zum „erweiterten Bestand“ der Grundfunktionen.
Sekans und Kosekans sind nullstellenfrei. Sie haben Pole an den Nullstellen ihrer Nenner und erben die Symmetrieeigenschaften des Kosinus und Sinus. Für ein z mit einem im Betrag großen Imaginärteil haben die beiden Funktionen einen sehr kleinen Betrag. Dies führt zu optischen ansprechenden, flach auslaufenden 3d-Plots mit periodischen Schornsteinen.
Die reellen hyperbolischen Funktionen sech und csch tauchen an den kritischen Senkrechten (durch ganzzahlige Vielfache von π/2) des komplexen Sekans und Kosekans auf.
Eine Periode des Sekans im Streifen S([ − π, π ]).
Der komplexe Sekans auf der x-Achse und den Senkrechten durch 0, ± π sowie ± π/2 (gestrichelt) mit Polen bei ± π/2. Die römischen Zahlen entsprechen wieder den Quadranten der Werte in den entsprechenden Bereichen.
3d-Plot des Sekans mit zwei Perioden. Auf der x-Achse sind die Bögen des reellen Sekans (im Betrag) gut zu sehen. Die Funktion läuft in y-Richtung im Betrag flach aus.
Eine Periode des Kosekans ohne Gitter. Es gilt csz(z) = sec(z − π/2). Die Diagramme des Sekans werden also durch die Verschiebung um π/2 entlang der x-Achse zu Diagrammen des Kosekans.