Die hyperbolischen Funktionen
Die hyperbolischen Varianten cosh, sinh : ℂ → ℂ des Kosinus und Sinus sind analog zu ℝ der gerade bzw. ungerade Anteil von exp : ℂ → ℂ. Für alle z ∈ gilt also
cosh(z) = ez + e−z2,(Kosinus Hyperbolicus)
sinh(z) = ez − e−z2.(Sinus Hyperbolicus)
Hieraus ergeben sich der Tangens Hyperbolicus, Kotangens Hyperbolicus, Sekans Hyperbolicus und Kosekans Hyperbolicus durch
tanh = sinhcosh, coth = coshsinh, sech = 1cosh, csch = 1sinh
mit maximalem Definitionsbereich.
Aus der Definition erhalten wir die auf ℂ gültigen Reihendarstellungen
cosh(z) = ∑n z2n(2n)!, sin(z) = ∑n z2n + 1(2n + 1)!
und die Ableitungen cosh′ = sinh, sinh′ = cosh, cosh″ = cosh, sinh″ = sinh. Mit Hilfe der Kutta-Joukowski-Abbildung können wir schreiben:
cosh(z) = kj(exp(z)), sinh(z) = − i kj(i exp(z)) für alle z ∈ ℂ.
Der Vergleich mit den Standardformeln
cos(z) = eiz + e−iz2, sin(z) = eiz − e−iz2i
für den Kosinus und Sinus liefert (Übung):
Umrechnungsformeln
Unter der Voraussetzung der Definiertheit gilt:
| cosh(z) = cos(iz) | cos(z) = cosh(iz) |
| sinh(z) = − i sin(iz) | sin(z) = − i sinh(iz) |
| tanh(z) = − i tan(iz) | tan(z) = − i tanh(iz) |
| coth(z) = i cot(iz) | cot(z) = i coth(iz) |
| sech(z) = sec(iz) | sec(z) = sech(iz) |
| csch(z) = i csc(iz) | csc(z) = i csch(iz) |
Damit gehen cos und cosh durch eine Drehung π/2 ineinander über. Die Funktionen sind gerade, sodass es keine Rolle spielt, ob wir im oder gegen Uhrzeigersinn drehen. Es gilt zum Beispiel cosh(1) = cos(i). Beim Wechsel zwischen sin und sinh werden zusätzlich die Werte um π/2 im Uhrzeigersinn gedreht, was zu einem neuen Farbverlauf führt (vgl. die Abbildungen unten).
Der Kosinus Hyperbolicus (links) entsteht durch Drehung des Kosinus (rechts) um π/2. Es gilt cosh(z) = cos(iz).
Für den Sinus Hyperbolicus (links) wird der Sinus (rechts) nach einer Drehung umgefärbt (in etwa: rot → violett → türkis → grün). Es gilt sinh(z) = − i sin(iz).
Die hyperbolischen Funktionen cosh (links) und sinh (rechts) in 3d.
Der Tangens Hyperbolicus tanh (links) im Vergleich mit dem Tangens (rechts).
Hier gilt tanh(z) = − i tan(iz) (analog zum Sinus).
Für den Kotangens Hyperbolicus (links) und den Kotangens (rechts) gilt coth(z) = i cot(iz), sodass die Umfärbung nach der Drehung gegen den Uhrzeigersinn erfolgt.
tanh (links) und coth (rechts) in 3d.
Für den Sekans Hyperbolicus (links) und Sekans (rechts) gilt wieder einfach sech(z) = sec(i z) (analog zum Kosinus).
Der Kosekans Hyperbolicus (links) im Vergleich mit dem Kosekans (rechts). Die Umrechnung ist csch(z) = i csc(z). Die Umfärbung ändert die Orientierung.
3d-Plots für sech (links) und csch (rechts).