Die hyperbolischen Funktionen
Die hyperbolischen Varianten cosh, sinh : ℂ → ℂ des Kosinus und Sinus sind wie im Reellen der gerade bzw. ungerade Anteil von exp. Für alle z ∈ ℂ gilt also
cosh(z) = ez + e−z2,(Kosinus Hyperbolicus)
sinh(z) = ez − e−z2.(Sinus Hyperbolicus)
Aus den beiden Funktionen ergeben sich der Tangens Hyperbolicus, Kotangens Hyperbolicus, Sekans Hyperbolicus und Kosekans Hyperbolicus durch
tanh = sinhcosh, coth = coshsinh, sech = 1cosh, csch = 1sinh
mit maximalen Definitionsbereichen.
Grundlegende Eigenschaften
Aus der Definition erhalten wir die auf ℂ gültigen Reihendarstellungen
cosh(z) = ∑n z2n(2n)!, sinh(z) = ∑n z2n + 1(2n + 1)!.
Durch gliedweises Differenzieren dieser Reihen oder auch direkt aus der Definition erhalten wir die Ableitungen
cosh′ = sinh, sinh′ = cosh,
cosh″ = cosh, sinh″ = sinh.
Mit Hilfe der Kutta-Joukowski-Abbildung können wir schreiben:
cosh(z) = kj(exp(z)), sinh(z) = − i kj(i exp(z)) für alle z ∈ ℂ.
Der Vergleich mit den Standardformeln
cos(z) = eiz + e−iz2, sin(z) = eiz − e−iz2i
für den Kosinus und Sinus liefert die folgenden grundlegenden Umrechnungsformeln, die die trigonometrischen und hyperbolischen Funktionen unter ein gemeinsames Dach bringen (Beweis als Übung):
Umrechnungsformeln
Unter der Voraussetzung der Definiertheit gilt:
| cosh(z) = cos(iz) | cos(z) = cosh(iz) |
| sinh(z) = − i sin(iz) | sin(z) = − i sinh(iz) |
| tanh(z) = − i tan(iz) | tan(z) = − i tanh(iz) |
| coth(z) = i cot(iz) | cot(z) = i coth(iz) |
| sech(z) = sec(iz) | sec(z) = sech(iz) |
| csch(z) = i csc(iz) | csc(z) = i csch(iz) |
Die Bedeutung der Umrechnungsformeln für Visualisierungen
Die Diagramme des Kosinus und des Kosinus Hyperbolicus gehen nach dem ersten Formelpaar durch eine Drehung um π/2 ineinander über. Die Funktionen sind gerade, sodass es keine Rolle spielt, ob wir die Diagramme im oder gegen Uhrzeigersinn drehen. Es gilt zum Beispiel
cosh(1) = cos(i) = cos(− i),
sodass der Punkt 1 des Kosinus Hyperbolicus die Farbe des Kosinus an der Stelle i erhält, und diese Farbe ist identisch mit der Kosinus-Farbe bei − i.
Beim Wechsel zwischen dem Sinus und dem Sinus Hyperbolicus werden zusätzlich die Werte um π/2 im Uhrzeigersinn gedreht, was zu einem neuen Farbverlauf führt.
Analoges gilt für die anderen Funktionen. Die folgenden Abbildungen lassen sich als „Drehung mit oder ohne Farbshift“ beschreiben.
Der Kosinus Hyperbolicus (links) entsteht durch Drehung des Kosinus (rechts) um π/2. Es gilt cosh(z) = cos(iz).
Für den sinh (links) wird das Diagramm des Sinus (rechts) um π/2 im Uhrzeigersinn gedreht und dann umgefärbt (Rot wird Violett usw). Es gilt sinh(z) = − i sin(iz).
Die hyperbolischen Funktionen cosh (links) und sinh (rechts) in 3d.
Der Tangens Hyperbolicus tanh (links) im Vergleich mit dem Tangens (rechts).
Hier gilt tanh(z) = − i tan(iz) (analog zum Sinus).
Für den coth (links) und den cot (rechts) gilt coth(z) = i cot(iz), sodass der Farbshift nach der Drehung im Uhrzeigersinn erfolgt (Violett wird Rot).
tanh (links) und coth (rechts) in 3d.
Für den Sekans Hyperbolicus (links) und Sekans (rechts) gilt wieder einfach sech(z) = sec(iz), analog zum Kosinus.
Der Kosekans Hyperbolicus (links) im Vergleich mit dem Kosekans (rechts). Die Umrechnung ist csch(z) = i csc(iz). Die Umfärbung ändert die Orientierung.
3d-Plots für sech (links) und csch (rechts).