Die hyperbolischen Funktionen

 Die hyperbolischen Varianten cosh, sinh :    des Kosinus und Sinus sind analog zu  der gerade bzw. ungerade Anteil von exp :   . Für alle z  ∈   gilt also

cosh(z)  =  ez + e−z2,(Kosinus Hyperbolicus)

sinh(z)  =  ez − e−z2.(Sinus Hyperbolicus)

Hieraus ergeben sich der Tangens Hyperbolicus, Kotangens Hyperbolicus, Sekans Hyperbolicus und Kosekans Hyperbolicus durch

tanh  =  sinhcosh,  coth  =  coshsinh,  sech  =  1cosh,  csch  =  1sinh

mit maximalem Definitionsbereich.

 Aus der Definition erhalten wir die auf  gültigen Reihendarstellungen

cosh(z)  =  n z2n(2n)!,  sin(z)  =  n z2n + 1(2n + 1)!

und die Ableitungen cosh′ = sinh, sinh′ = cosh, cosh″ = cosh, sinh″ = sinh. Mit Hilfe der Kutta-Joukowski-Abbildung können wir schreiben:

cosh(z)  =  kj(exp(z)),  sinh(z)  =  − i kj(i exp(z))  für alle z  ∈  .

Der Vergleich mit den Standardformeln

cos(z)  =  eiz + e−iz2,  sin(z)  =  eiz − e−iz2i

für den Kosinus und Sinus liefert (Übung):

Umrechnungsformeln

Unter der Voraussetzung der Definiertheit gilt:

cosh(z)  =  cos(iz)cos(z)  =  cosh(iz)
sinh(z)  =  − i sin(iz) sin(z)  =  − i sinh(iz)
tanh(z)  =  − i tan(iz) tan(z)  =  − i tanh(iz)
coth(z)  =  i cot(iz) cot(z)  =  i coth(iz)
sech(z)  =  sec(iz) sec(z)  =  sech(iz)
csch(z)  =  i csc(iz) csc(z)  =  i csch(iz)

Damit gehen cos und cosh durch eine Drehung π/2 ineinander über. Die Funktionen sind gerade, sodass es keine Rolle spielt, ob wir im oder gegen Uhrzeigersinn drehen. Es gilt zum Beispiel cosh(1) = cos(i). Beim Wechsel zwischen sin und sinh werden zusätzlich die Werte um π/2 im Uhrzeigersinn gedreht, was zu einem neuen Farbverlauf führt (vgl. die Abbildungen unten).

cana1-AbbIDcomplex_cosh_1

Der Kosinus Hyperbolicus (links) entsteht durch Drehung des Kosinus (rechts) um π/2. Es gilt cosh(z) = cos(iz).

cana1-AbbIDcomplex_sinh_1

Für den Sinus Hyperbolicus (links) wird der Sinus (rechts) nach einer Drehung umgefärbt (in etwa: rot  violett  türkis  grün). Es gilt sinh(z) = − i sin(iz).

cana1-AbbIDcomplex_coshsonh3d_1

Die hyperbolischen Funktionen cosh (links) und sinh (rechts) in 3d.

cana1-AbbIDcomplex_tanh_1

Der Tangens Hyperbolicus tanh (links) im Vergleich mit dem Tangens (rechts).

Hier gilt tanh(z) = − i tan(iz) (analog zum Sinus).

cana1-AbbIDcomplex_coth_1

Für den Kotangens Hyperbolicus (links) und den Kotangens (rechts) gilt coth(z) = i cot(iz), sodass die Umfärbung nach der Drehung gegen den Uhrzeigersinn erfolgt.

cana1-AbbIDcomplex_tanhcothh3d_1

tanh (links) und coth (rechts) in 3d.

cana1-AbbIDcomplex_sech_1

Für den Sekans Hyperbolicus (links) und Sekans (rechts) gilt wieder einfach sech(z) = sec(i z) (analog zum Kosinus).

cana1-AbbIDcomplex_csch_1

Der Kosekans Hyperbolicus (links) im Vergleich mit dem Kosekans (rechts). Die Umrechnung ist csch(z) = i csc(z). Die Umfärbung ändert die Orientierung.

cana1-AbbIDcomplex_sechcsch3d_1

3d-Plots für sech (links) und csch (rechts).