Die Area-Funktionen
Aus den Abbildungseigenschaften des Sinus und Kosinus und den Umrechnungsformeln ergeben sich mit den waagrechten Streifen W0 = W(] − π/2, π/2 [) und W1 = W(] 0, π [) die folgenden biholomorphen Einschränkungen:
| cosh : W1 → i ℂ− − | tanh : W0 → ℂ− − | sech : W1* → ℂ − i [ −1, 1 ] |
| sinh : W0 → i ℂ− − | coth : W1 → ℂ− − | csch : W0* → ℂ − i [ −1, 1 ] |
Zur Bildung der Umkehrfunktionen verwenden wir für den cosh, sech und coth folgende biholomorphen Einschränkungen:
cosh : R → ℂ − ] − ∞, 1 ] mit R = ] 0, ∞ [ × ] −π, π [ ,
sech : R → ℂ − ( ] − ∞, 0 ] ∪ [ 1, ∞ ] ),
coth : W0* → ℂ − [ −1, 1 ].
Motiviert sind diese Bereiche durch den Wunsch, die reellen Area-Funktionen fortzusetzen. Es gilt zum Beispiel arcosh : [ 1, ∞ [ → [ 0, ∞ [ in ℝ. Das Intervall [ 1, ∞ [ liegt auf der Mittelachse des Rechtecks R, aber nicht in W1. Analog ist arcoth : ℝ − [ −1, 1 ] → ℝ in ℝ. Wir werden „i-freie“ Logarithmus-Formeln für die Area-Funktionen erhalten, die die reellen Formeln fortsetzen.
Hauptzweige der komplexen Areafunktionen
Die (offenen) Hauptzweige der Areafunktionen sind definiert durch
arcosh = (cosh↾R)−1, arsinh = (sinh↾W0)−1, artanh = (tanh↾W0)−1,
arcoth = (coth↾W0*)−1, arsech = (sech↾R)−1, arcsch = (csch↾W0*)−1.
Unstetige Erweiterungen
Die unstetigen +-Versionen arcosh+, arsinh+, artanh+, arcoth+, arsech+, arcsch+ der Areafunktionen sind die Umkehrfunktion der folgenden Bijektionen:
cosh : R ∪ i [ 0, 1 ] ∪ { x + i π | x > 0 } → ℂ
sinh : W0 ∪ { y − i π/2 | y ≤ 0 } ∪ { y + i π/2 | y ≥ 0 } → ℂ
tanh : W0 ∪ { y + i π/2 | y < 0 } ∪ { y − i π/2 | y > 0 } → ℂ
coth : W0* ∪ { y + i π/2 | y ≤ 0 } ∪ { y − i π/2 | y > 0 } → ℂ
sech : R ∪ { i y | y ∈ [ 0, 1 ], y ≠ π/2 } ∪ { x + i π | x > 0 } → ℂ*
csch : W0* ∪ { y − i π/2 | y ≤ 0 } ∪ { y + i π/2 | y ≥ 0 } → ℂ*
Die gezeigten Bereiche werden zur Umkehrung der hyperbolischen Funktionen verwendet (in den unstetigen +-Versionen). Dort sind die jeweiligen Funktionen injektiv. Wir verwenden wie bei den trigonometrischen Funktionen Punkte anstelle einer Farbfläche, um die Zugehörigkeit fraglicher Stellen zu verdeutlichen.