Die Area-Funktionen
Aus den Abbildungseigenschaften des Sinus und Kosinus und den Umrechnungsformeln ergibt sich mit den waagrechten Streifen W0 = W(] − π/2, π/2 [) und W1 = W(] 0, π [), dass die folgenden Einschränkungen biholomorph sind:
| cosh : W1 → i ℂ− − | tanh : W0 → ℂ− − | sech : W1* → ℂ − i [ −1, 1 ] |
| sinh : W0 → i ℂ− − | coth : W1 → ℂ− − | csch : W0* → ℂ − i [ −1, 1 ] |
Zur Bildung der Umkehrfunktionen werden für den cosh, secs und coth üblicherweise folgende Bijektionen verwendet:
cosh : R → ℂ − ] − ∞, 1 ] mit R = ] 0, ∞ [ × ] −π, π [ ,
sech : R → ℂ − ( ] − ∞, 0 ] ∪ [ 1, ∞ ] ),
coth : W0* → ℂ − [ −1, 1 ].
Der coth wird bei dieser Betrachtung als 1/tanh aufgefasst und erbt damit den Definitionsbereich des auf W0 eingeschränkten tanh bis auf die Nullstelle. Die spezielle Wahl des Rechtecks für den cosh (und sech = 1/cosh) geschieht mit Blick auf die Logarithmus-Formeln der Areafunktionen.
Hauptzweige der komplexen Areafunktionen
Die (offenen) Hauptzweige der Areafunktionen sind definiert durch
arcosh = (cosh↾R)−1, arsinh = (sinh↾W0)−1, artanh = (tanh↾W0)−1,
arcoth = (coth↾W0*)−1, arsech = (sech↾R)−1, arcsch = (csch↾W0*)−1.
Unstetige Erweiterungen
Die unstetigen +-Versionen arcosh+, arsinh+, … der Areafunktionen sind die Umkehrfunktion der folgenden Bijektionen:
cosh : R ∪ i [ 0, 1 ] ∪ { x + I | x > 0 } → ℂ
sinh : W0 ∪ { − π/2 + i y | y ≤ 0 } ∪ { π/2 + i y | y ≥ 0 } → ℂ
tanh : W0 ∪ { π/2 + i y | y < 0 } ∪ { − π/2 + i y | y > 0 } → ℂ
coth : W0 ∪ { π/2 + i y | y < 0 } ∪ { − π/2 + i y | y > 0 } → ℂ
sech : R ∪ i ] 0, 1 ] ∪ { x + I | x > 0 } → ℂ*
csch : W0* ∪ { − π/2 + i y | y > 0 } ∪ { π/2 + i y | y < 0 } → ℂ*
Es gelten die folgenden Logarithmus-Formeln (Übung):
Logarithmus-Formeln für die Area-Funktionen
Unter der Voraussetzung der Definiertheit gilt:
arcosh z = log (z + sqrt(z + 1) sqrt(z − 1))(Areakosinus Hyperbolicus)
arsinh z = log (z + sqrt(z2 + 1))(Areasinus Hyperbolicus)
artanh z = 12 log (1 + z1 − z)(Areatangens Hyperbolicus)
arcoth z = 12 log (z + 1z − 1)(Areakotangens Hyperbolicus)
arsech z = log (z−1 + sqrt(z−1 + 1) sqrt(z−1 − 1))(Areasekans Hyperbolicus)
arcsch z = log (z−1 + sqrt(z−2 + 1))(Areakosekans Hyperbolicus)
Die Formeln gelten auch wieder für die +-Erweiterungen.
Die Formeln sind „i-frei“ und bis auf die Wurzelprodukte analog zu den Formeln für die Arkusfunktionen. Dabei entspricht die Funktion arcoth der zweiten Version arctg des Arkuskotangens. Das Wurzelprodukt des arcosh kann nicht zu sqrt(z2 − 1) verkürzt werden. Es gilt aber
sqrt(1 − z2) = sqrt(1 + z) sqrt(1 − z) für alle z ∈ ℂ,
sodass wir in den Logarithmusformeln für die Arkusfunktionen die Wurzeln dieser Form faktorisieren können, um die Analogie vollständig herzustellen.
arcosh (links) und arccos (rechts).
arsinh (links) und arcsin (rechts).
artanh (links) und arctan (rechts).
arcoth (links) und arcctg (rechts).
arsech (links) und arcsec (rechts).
arcsch (links) und arccsc (rechts).
arcosh (links) und arsinh (rechts) dargestellt durch 3d-Plots.
artanh (links) und arcoth (rechts).
arsechh (links) und arcsch (rechts).