Lineare Approximation

Genau wie im Reellen gilt:

Satz (linearer Approximationssatz)

Sei f : P → ℂ. Dann sind äquivalent:

(a)	f ist differenzierbar in p.

(b)	Es gibt ein c  ∈  ℂ und eine Funktion r : P → ℂ mit f (z) = f (p) + c (z − p) + r(z) für alle z  ∈  P, lim_z → p r(z)/(z − p) = 0.

(c)	Es gibt eine in p stetige Funktion s : P → ℂ mit f (z) = f (p) + s(x) (z − p) für alle z  ∈  P.

In diesem Fall gilt f ′(p) = c = s(p).

In der o-Notation von Landau lautet (b):

(+) f (z) = f (p) + f ′(p) (z − p) + o(z − p) für z → p.

Eine in p komplex differenzierbare Funktion ist also wie im Reellen ihre dortige (komplexe) Tangente plus ein „kleiner Rest“. Die Tangente ist eine affine komplexe Gerade mit dem Drehfaktor f ′(p). Damit gilt:

Geometrie der komplexen Ableitung

Bis auf einen kleinen Fehler o(z − p) gilt:

Ist f ′(p) = 0, so ist f bei p konstant gleich f (p).(singulärer Fall)

Ist f ′(p) ≠ 0, so ist f bei p eine affine Drehstreckung.(regulärer Fall)