Komplexe Ableitung und Jacobi-Matrix

 Sei f : P → ℂ differenzierbar in p  ∈  P. Ist f = u + i v mit u, v : P → ℝ, so gilt, wie wir gesehen haben:

J_f(p)  =  ((grad(u) (p), grad(v) (p))  =  $( \begin{array}{cc}\partial {\mathrm{}}_{\mathrm{x}}\mathrm{u}(\mathrm{p})& \partial {\mathrm{}}_{\mathrm{y}}\mathrm{u}(\mathrm{p})\\ \partial {\mathrm{}}_{\mathrm{x}}\mathrm{v}(\mathrm{p})& \partial {\mathrm{}}_{\mathrm{y}}\mathrm{v}(\mathrm{p})\end{array} )$ =  $( \begin{array}{cc}\partial {\mathrm{}}_{\mathrm{x}}\mathrm{u}(\mathrm{p})& -\partial {\mathrm{}}_{\mathrm{x}}\mathrm{v}(\mathrm{p})\\ \partial {\mathrm{}}_{\mathrm{x}}\mathrm{v}(\mathrm{p})& \partial {\mathrm{}}_{\mathrm{x}}\mathrm{u}(\mathrm{p})\end{array} )$

f ′(p)  =  ∂_x u (p)  +  i ∂_x v (p)  =  (∂_x u (p), ∂_x u (p))  =  J_f (p) (1, 0).

Die komplexe Ableitung f ′(p) ist eine komplexe Zahl, während die Jacobi-Matrix eine (2 × 2)-Matrix ist. Insgesamt gilt:

 In (+) wird links die Körpermultiplikation von ℂ verwendet und rechts das Matrix-Vektor-Produkt. Die Identität kann man entweder direkt durch Nachrechnen verifizieren oder einfacher aus der obigen Diskussion der linearen Approximation durch eine Gerade ablesen.

 Im Zuge der Identifikation von

Ableitung ∼ Jacobi-Matrix ∼ lineare Abbildung

können wir f ′(p) mit J_f(p) identifizieren, wenn wir möchten. Die Geschmäcker sind hier aber verschieden, und wir bleiben in diesem Text bei einer Unterscheidung. Schließlich haben wir bereits eine komplexe Zahl z = (x, y) (ein Vektor der Ebene) mit einer einspaltigen Matrix identifiziert, sodass sich nun eine Identifikation der einspaltigen Matrix (a, b) mit der quadratischen Matrix ((a, b), (−b, a)) ergeben würde. Wie auch immer: Die Form (+) ist mit und ohne Identifikation stets korrekt.