Der Kalkül des Differenzierens

Die aus der eindimensionalen Theorie bekannten Ableitungsregeln gelten auch in ℂ. Einfach, bedeutsam und ständig im Einsatz ist:

Monom-Regel

d/dz z^a = a z^a − 1 für alle a  ∈  ℤ* (und z ≠ 0, falls a < 0).

Ist ein Bereich P fest gewählt, so gelten wir alle f, g  ∈  𝒪(P):

Linearität

(c f + d g)′ = c f ′ + d g′ für alle c, d  ∈  ℂ.

Produktregel und Quotientenregel

(f g)′ = f ′ g + f g′,(Produktregel)

(f/g)′ = (f ′ g − f g′)/g² (g nullstellenfrei).(Quotientenregel)

Aus algebraischer Sicht bildet die Menge 𝒪(P) der auf einem Bereich P holomorphen Funktionen ein kommutativen Ring und weiter einen ℂ-Vektorraum. Wir werden zeigen, dass für ein Gebiet G der Ring 𝒪(G) nullteilerfrei ist. Dies ist ein weiterer Unterschied zur reellen Welt:

Beispiel

Es gibt differenzierbare f, g : ℝ → ℝ mit f, g ≠ 0 und f g = 0 (etwa Parabeläste mit Nullfortsetzung). Derartige „flachgedrückte“ Überlagerungen differenzierbarer Funktionen sind in ℂ nicht möglich.

Für Verknüpfungen gilt:

Kettenregel

(g ∘ f)′ = (g′ ∘ f) · f ′.(Kettenregel)

Genauer: Sind f : P → ℂ, g : Q → ℂ holomorph mit f [ P ] ⊆ Q, so ist die Verknüpfung h = g ∘ f : P → ℂ holomorph mit

h′(z) = g′(f (z)) f ′(z) für alle z  ∈  P.

Auch hier sprechen wir vom Nachdifferenzieren mit der Ableitung von f.

Beispiel

Sei U = U_r(0) eine offene Kreisscheibe mit Radius r > 0, und sei f : U → ℂ differenzierbar. Dann gilt i z  ∈  U für alle z  ∈  U. Nach der Kettenregel gilt

d/dz f (i z) = i f ′(i z) für alle z  ∈  U.

Last but not least haben wir:

Ableitungsregel für die Umkehrfunktion

f ⁻¹′ ∘ f = 1/f ′, f ⁻¹′ = 1/(f ′ ∘ f ⁻¹) (f ′ nullstellenfrei).

Genauer gilt:

(+)	Sei f : P → Q bijektiv, komplex differenzierbar bei p  ∈  P mit f ′(p) ≠ 0. Weiter sei f ⁻¹ : Q → P stetig bei q = f (p). Dann ist f ⁻¹ komplex differenzierbar bei q und es gilt f ⁻¹′(q) = 1/f ′(p).

Später werden wir zeigen: Ist f : P → Q holomorph und bijektiv, so ist Q offen und f ⁻¹ : Q → P stetig. Damit erhalten wir die finale Form der Regel:

(++)	Ist f : P → Q bijektiv, holomorph und f ′ : P → ℂ nullstellenfrei, so ist die Umkehrfunktion f ⁻¹ : Q → P holomorph mit
	f ⁻¹′(f (z)) = ¹_f ′(z) für z  ∈  P, f ⁻¹′(w) = ¹_{f ′(f ⁻¹(w))} für w  ∈  Q.

Bei der Umkehrung der elementaren ist die Offenheit des Bildes Q und die Stetigkeit von f ⁻¹ in der Regel leicht einzusehen, sodass wir die Version (#) für konkrete Fälle von Beginn an zur Verfügung haben.

Die alten Beweise können übernommen werden. Wir hatten die Regeln direkt oder durch lineare Approximation bewiesen, und die Argumente bleiben in ℂ gültig. Der Leser führe sich die Beweise der Produktregel mit „o(x − p)“ und der Kettenregel mit der Stetigkeisformulierung „s(x) (x − p)“ noch einmal vor Augen. Wir argumentieren nun analog mit „o(z − p)“ und „s(z) (z − p)“. Exemplarisch zeigen wir hier:

Beweis der Regel (+) für die Ableitung der Umkehrfunktion

Sei s : P → ℚ stetig bei p mit

f (z) = f (p) + s(z) (z − p) für alle z  ∈  P, s(p) = f ′(p) ≠ 0.

Da s stetig bei p ist und s(p) ≠ 0 gilt, können wir annehmen, dass s nullstellenfrei ist (durch Verkleinerung von P). Umstellung und die Bijektivität von f : P → Q liefern:

z = p + ¹_s(z) (f (z) − f (p))	für alle z  ∈  P,
f ⁻¹(w) = f ⁻¹(q) + ¹_{s(f ⁻¹(w))} (w − q)	für alle w  ∈  Q.

Nach Voraussetzung sind f ⁻¹ stetig bei q und s stetig bei p = f ⁻¹(q) mit s(p) ≠ 0, sodass 1/(s ∘ f ⁻¹) stetig bei q ist. Damit ist f ⁻¹ bei q differenzierbar mit f ⁻¹′(q) = 1/s(f ⁻¹(q)) = 1/s(p) = 1/f ′(p).

Biholomorphe Funktionen

Definition (biholomorph)

Eine bijektive holomorphe Funktion f : P → Q heißt biholomorph, wenn f ⁻¹ : Q → P holomorph ist.

In der Definition ist enthalten, dass das Bild Q = f [ P ] offen ist. Wie bei der Regel für die Ableitung von f ⁻¹ schon erwähnt ist dies automatisch der Fall. Wir werden in Abschnitt 2 allgemeiner zeigen:

Satz (Offenheitssatz)

Sei f : P → ℂ holomorph und nicht lokal konstant. Dann ist f [ U ] offen für alle offenen U ⊆ P.

Der Offenheitssatz der mehrdimensionalen Analysis, den wir aus dem Hauptsatz über implizite Funktionen gewonnen hatten, liefert den komplexen Offenheitssatz für den Fall einer nullstellenfreien Ableitung f ′ (unter der Annahme der stetigen reellen Differenzierbarkeit), da dann alle Jacobi-Matrizen J_f(z) invertierbar sind. Im komplexen Offenheitssatz sind Nullstellen der Ableitung zugelassen. Wir müssen nur die Minimalforderung stellen, dass f nicht lokal konstant ist.

In ℂ gilt überraschenderweise automatisch (auch dies werden wir zeigen):

Satz (Nullstellenfreiheit der Ableitung, Biholomorphiekriterium)

Sei f : P → ℂ holomorph und injektiv. Dann hat f ′ keine Nullstellen. Insbesondere ist die Biholomorphie einer Funktion f : P → Q äquivalent zu ihrer Holomorphie und Bijektivität.

Der Leser vergleiche dies mit der Funktion g : ℝ → ℝ mit g(x) = x³ für alle x  ∈  ℝ. Die Funktion ist injektiv mit g′(0) = 0. Die Umkehrabbildung g⁻¹ ist im Nullpunkt nicht differenzierbar.

Beispiele

(1)	Seien a, b  ∈  ℂ mit a ≠ 0 und sei f : ℂ → ℂ mit f (z) = a z + b. Dann ist f : ℂ → ℂ biholomorph mit f ⁻¹(z) = a⁻¹ z − b/a für alle z  ∈  ℂ.

(2)

Sei sq : ℂ → ℂ mit sq(z) = z². Weiter seien H = { (x, y) | x > 0 } und ℂ⁻ = ℂ − ] ∞, 0 ]. Dann ist sq : H → ℂ⁻ biholomorph. Die Umkehrabbildung der auf H eingeschränkten Quadratfunktion ist der sog. Hauptzweig sqrt : ℂ⁻ → H der komplexen Quadratwurzel mit

sqrt((r, φ)_polar) = ( $\sqrt{r}$ , φ/2)_polar für alle r > 0 und φ ] −π, π [.

Mehr hierzu im Kapitel über Parabeln.