Stammfunktionen
Definition (Stammfunktion)
Eine holomorphe Funktion F : P → ℂ heißt eine Stammfunktion von f : P → ℂ, falls F′ = f.
Gilt F′ = f, so gilt auch (F + c)′ = f für alle c ∈ ℂ. Die Umkehrung gilt für zusammenhängende Definitionsbereiche (G bezeichnet immer ein Gebiet):
Satz (Charakterisierung der Stammfunktionen)
Seien F1, F2 : G → ℂ Stammfunktionen von f : G → ℂ. Dann gibt es ein c ∈ ℂ mit F1 = F2 + c. Insbesondere haben genau die konstanten Funktionen auf G die Ableitung 0.
Allgemein unterscheiden sich zwei Stammfunktionen F1, F2 : P → ℂ auf jeder Komponente des Bereichs P nur um eine (von der Komponente abhängige) Konstante.
Beweis
Sei H = F1 − F2. Für alle z ∈ P gilt dann H′(z) = 0, sodass JH(z) die Null-Matrix ist. Da G offen und zusammenhängend ist, gibt es ein c ∈ ℂ mit H = c (eine Folgerung des Mittelwertsatzes der mehrdimensionalen reellen Analysis). Der Rest ist klar.
Das gleiche Argument zeigt:
Satz (holomorphe Funktion mit gleichem Real- oder Imaginärteil)
Seien f, g : G → ℂ holomorph mit Re(f) = Re(g). Dann gibt es ein c ∈ ℂ mit Im(f) = Im(g) + c. Analoges gilt, wenn Im(f) = Im(g).
Insbesondere ist eine holomorphe Funktion f : G → ℂ, die nur reelle oder nur rein imaginäre Werte annimmt, konstant. Allgemeiner gilt dies, wenn f nur Werte auf einer affinen Geraden in ℂ annimmt.
Beweis
Nach Voraussetzung und der Gradientenformulierung der Differenzierbarkeit gilt:
grad Im(f) = i grad Re(f) = i grad Re(g) = grad Im(g).
Da G zusammenhängend, unterscheiden sich Im(f) und Im(g) nur um eine Konstante.
Nimmt f nur reelle Werte an, so gilt Im(f) = 0 wie für die Nullfunktion, sodass Re(f) konstant ist. Analoges gilt für die imaginäre Achse oder (mit Hilfe von affinen Transformationen) für Geraden in ℂ.