Das schwache Maximumsprinzip

In der mehrdimensionalen Analysis haben wir die Hesse-Matrix als Analogon der zweiten Ableitung zur Bestimmung lokaler Extrema eingesetzt. Wir wenden nun die Ergebnisse auf harmonische Funktionen an. Sei also u : P → ℝ harmonisch, und sei p  ∈  P. Wir setzen u_x = ∂_x u, u_y = ∂_y u und weiter

(a, b) = grad u_x (p) = (∂_x u_x (p), ∂_y u_x (p)).

Dann berechnet sich die Hesse-Matrix von u bei p zu

H_u(p) = J_grad(u)(p) = (grad u_x (p), grad u_y (p)) = $( \begin{matrix} a & b \\ b & - a \end{matrix} )$ .

Die Matrix ist Null oder eine Streckspiegelung. Es gilt

det(H_u (p)) = − (a² + b²) ≤ 0.

Nach dem Determinantenkriterium der Definitheit ist also H_u(p) weder positiv noch negativ definit. Dies ist ein erster Hinweis auf die Nichtexistenz strikter lokaler Extrema, aber aufgrund der nur hinreichenden Bedingung noch kein Beweis.

Die Eigenwerte der symmetrischen Matrix H_u(p) haben im Fall (a, b) ≠ 0 unterschiedliche Vorzeichen. Im Fall (a, b) = 0 sind sie gleich 0. Sie lassen ablesen oder berechnen mit den allgemeinen Eigenwertformeln:

Eigenwertformeln

Für die reellen Eigenwerte λ_1,2 einer reellen symmetrischen Matrix A = ((a, b), (b, d))  ∈  ℝ^2 × 2 gilt:

2 λ_1,2 = a + d ± $\sqrt{(a - d)^{2} + {4 b}^{2}}$ ,

λ₁ + λ₂ = a + d = spur(A), λ₁ λ₂ = a d − b² = det(A).

Für die Hesse-Matrix H_u(p) ergibt sich (mit d = − a):

λ_1,2 = ± ∥ (a, b) ∥, λ₁ + λ₂ = 0, λ₁ λ₂ = − (a² + b²) = det(H_u(p)).

Damit ist H_u(p) genau dann indefinit (mit λ₂ < 0 < λ₁), wenn (a, b) ≠ 0. In diesem Fall hat u in p kein lokales Extremum (vgl. Analysis 2). Hat u in p ein lokales Extremum, so gilt grad u (p) = 0 und (a, b) = 0, sodass

(+) grad u (p) = 0, H_u(p) = 0.

Für eine harmonische Funktion muss also bei einem lokalen Extremum nicht nur der Grandient, sondern auch die Hesse-Matrix verschwinden. Instruktiv ist:

Beispiel

Die harmonische Funktion u : ℝ² → ℝ mit

u(x, y) = Re(z³) = x³ − 3 x y² für alle z = (x, y)  ∈  ℝ²

und die Stelle p = 0 zeigen, dass grad u (p) = 0 und H_u(p) = 0 gelten kann, ohne dass u bei p ein lokales Extremum besitzt. Die Eigenschaften erzwingen nicht, dass u lokal konstant ist.

Die harmonische Funktion u(x, y) = x³ − 3 x  y². Gradient und Hesse-Matrix verschwinden im Nullpunkt.

Die Anschauung, dass eine harmonische Funktion u aufgrund der sich „in x und y ausgleichenden Krümmungen“ keine echten lokalen Extrema besitzt, ist richtig, aber nicht leicht zu beweisen. Gradient und Hesse-Matrix reichen, wie wir gesehen haben, nicht aus. Trickreich, aber elementar beweisen können wir das folgende Teilresultat:

Satz (Extremwertsatz für harmonische Funktionen, Maximumsprinzip)

Sei C ⊆ ℂ kompakt, und sei U = int(C) ≠ ∅. Weiter sei u : C → ℝ stetig und harmonisch auf U. Dann nimmt u ihr Minimum und Maximum auf dem Rand von C an, d. h. es gilt

inf_{z  ∈  ∂C} u(z) ≤ u(z) ≤ sup_{z  ∈  ∂C} u(z) für alle z  ∈  U.

Da die Menge C und ihr Rand ∂C kompakt sind, wird das Minimum und Maximum auf diesen Mengen von der stetigen Funktion u angenommen. Ein Supremum ist hier ein Maximum, ein Infimum ein Minimum. Im Beweis brauchen wir nur, dass u im Inneren von C harmonisch ist.

Die Grundidee des Beweises ist eine Extremwertanalyse mit Hilfe der bekannten Kriterien für die erste und zweite Ableitung. Da die zweite Ableitung auch in einem strikten Maximum Null sein kann (sie ist nur „meistens“ negativ), wird eine technische ε-Regularisierung nötig. Dieser Ansatz ist auch anderswo nützlich, sodass der Beweis das Prädikat „besonders wertvoll“ bekommt.

Beweis

Wir betrachten für jedes ε > 0 die Anhebung u_ε : C → ℝ mit

u_ε(x, y) = u(x, y) + ε (x² + y²).

Die Funktion u wird also um ein ε-flaches Paraboloid angehoben. Sei nun ε > 0 beliebig. Wir zeigen:

(+) u_ε besitzt kein lokales Maximum in U

Beweis von (+)

Da u harmonisch auf U ist, gilt für alle (x, y)  ∈  U:

∆ u_ε(x, y) = ∆ u (x, y) + ε(2 + 2) = 4 ε > 0.

Sei p  ∈  U mit grad(u_ε)(p) = 0 (kritischer Punkt). Wegen ∆ u_ε(p) > 0 gilt ∂_x u_ε²(p) > 0 oder ∂_y u_ε²(p) > 0. Also besitzt u_ε bei p ein striktes lokales Minimum entlang der x- bzw. y-Koordinate. Dies zeigt (+).

Damit nimmt die stetige Funktion u_ε ihr Maximum auf ∂C an. Mit der Schranke S = sup_{z  ∈  C} |z|² < ∞ gilt also:

sup_{z  ∈  U} u(z) ≤ sup_{z  ∈  U} u_ε(z) ≤ sup_{z  ∈  ∂C} u_ε(z) ≤ sup_{z  ∈  ∂C} u(z) + ε S.

Da dies für alle ε > 0 gilt, folgt

sup_{z  ∈  C} u(z) ≤ sup_{z  ∈  ∂C} u(z).

Die Aussage für das Minimum wird analog oder durch Übergang zur Funktion − u bewiesen.

Das Paradebeispiel für eine kompakte Menge wie im Satz ist eine abgeschlossene Kreisscheibe. Eine harmonische Funktion nimmt also ihr Maximum und Minimum immer auf dem Rand einer Kreisscheibe an (wobei diese Extrema weder strikt noch eindeutig sein müssen, wie konstante Funktionen zeigen). Der Leser vergleiche wieder ein Paraboloid, welches das Maximumsprinzip grob verletzt, mit einer Sattelfläche, für die das Prinzip richtig ist.