Die Normalparabel

Hier steht „sq“ für „square“. Es ist nützlich, einen Funktionssymbol für die Parabel zu haben. Alternativ können wir (·)² : ℂ → ℂ schreiben oder den Term z² als Funktion (mit maximalem Defintionsbereich ℂ) behandeln.

 Die Funktion sq ist nicht injektiv. Es gilt sq(z) = sq(−z) für alle z  ∈  ℂ. Die Nullstelle 0 der Funktion ist doppelt.

 Durchlaufen wir den Einheitskreis bei Start in 1 gegen den Uhrzeigersinn, so durchlaufen wir das Farbspektrum zweimal. Auf der negativen reellen Achse sind wir wieder bei rot angekommen. Die Farben sind punktsymmetrisch zum Ursprung, wie es wegen f (z) = f (−z) ja auch sein muss. Das Farbspektrum wird vollständig ausgeschöpft. Dies entspricht der Existenz von Quadratwurzeln in ℂ. Für jedes z  ∈  ℂ gibt es ein w  ∈  ℂ mit w² = z. Es gilt dann f (w) = f (−w) = z. Dies zeigt, dass die Funktion sq surjektiv ist − im Gegensatz zur reellen Normalparabel, die auf ℝ definiert ist, aber nur Werte in [ 0, ∞ [ annimmt. Komplexe Quadratwurzeln werden wir gleich noch genauer betrachten.

 Interessant ist auch das Vektorfeld der Funktion:

 Das vektorfeld zeigt ebenfalls die Punktsymmetrie und die entsprechende mangelnde Injektivtät der Funktion. Auf dem Achsenkreuz (und nur dort) sind die Vektoren waagrecht: Genau dort ist sq(z) reell. Senkrechte Vektoren finden sich auf den beiden Winkelhalbierenden (und nur dort). Genau dort ist sq(z) rein imaginär. Auf einem Kreis K_r sind die Farben der Vektoren konstant, da dort |sq(z)| konstant gleich r² ist.

 In kartesischen und Polarkoordinaten gilt

sq((x, y))  =  (x + i y)²  =  x² − y² + i 2 x y  =  (x² − y², 2 x y),

sq((r, φ)_polar)  =  (r², 2φ)_polar.

Geometrisch ist das komplexe Quadrieren ein Quadrieren der reellen Längen und ein Verdoppeln der Winkel. Es gibt wohl keine schönere Erklärung von „i² = −1“ als diese: Der zweite kanonische Einheitsvektor i = (0, 1) wird beim Quadrieren einfach um π/2 gedreht. Allgemein ist der Einheitskreis

K₁  =  { z  ∈  ℂ | |z| = 1 }

abgeschlossen unter der Quadratur: Für jedes z  ∈  K₁ ist z² wieder ein Element von K₁. Auf K₁ ist sq die Winkelverdopplung. Auch hier hat die mangelnde Injektivität eine anschauliche Erklärung: Die Verdopplung von φ und φ + π führt zu 2φ bzw. 2φ + 2π. Modulo 2π sind diese Winkel gleich.