Berechnung von Wurzeln

In Polarkoordinaten ist die Wurzelberechnung besonders einfach:

Satz (Berechnung von Wurzeln in Polarkoordinaten)

Für alle r > 0 und φ  ∈  ] − π, π ] gilt:

sqrt⁺(r, φ)_polar = ( $\sqrt{r}$ , φ/2)_polar.

In kartesischen Koordinaten ist die Angelegenheit komplizierter, aber immer noch vergleichsweise übersichtlich. Es ist ja keineswegs klar, dass sich die Winkelhalbierung algebraisch noch vergleichsweise einfach mit reellen Wurzeln ausdrücken lässt. Es gilt (vgl. Analysis 1):

Satz (Berechnung von Wurzeln in kartesischen Koordinaten)

Sei z = (x, y)  ∈  ℂ. Weiter seien

r = |z| = $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ , σ = sgn⁺(Im(z))  ∈  { 1, −1 },

sodass σ = 1 für Im(z) ≥ 0 und σ = −1 für Im(z) < 0. Dann gilt:

sqrt⁺(z) = $\frac{1}{\sqrt{2}}$ ( $\sqrt{r + x}$ , σ $\sqrt{r - x}$ ).

Werte für negative reelle Zahlen

Die Verwendung der zweiwertigen Signumsfunktion garantiert, dass wir auch auf der negativen reellen Achse korrekte Wurzeln erhalten: Ist x < 0 und y = 0, so gilt:

r = |x|, r + x = 0, r − x = 2|x|, σ = 1.

Damit ergibt sich der Wert

sqrt⁺((x, 0)) = $\frac{1}{\sqrt{2}}$ (0, $\sqrt{2|x|}$ ) = (0, $\sqrt{|x|}$ ) = i $\sqrt{|x|}$ .

auf der positiven imaginären Achse.

In den Berechnungsformeln ist eine doppelte reelle Wurzel am Werk. Die reelle Quadratwurzel geht in die Berechnung des Betrags r der komplexen Zahl ein. Dieser Betrag wird um ± Re(z) modifiziert, und danach wird erneut die reelle Wurzel gezogen. Die Formeln werden bei der Verwendung der Parallelogramm-Methode zur Winkelhalbierung besonders anschaulich (vgl. „Das Buch der Ellipsen“).