Allgemeine Parabeln

 Eine allgemeine komplexe Parabel f : ℂ → ℂ hat die Form

f (z)  =  a z2  +  b z  +  c  für alle z  ∈  ℂ

mit a, b, c  ∈  ℂ und a ≠ 0. Die Lösunsformel für quadratische Gleichungen gilt (vgl. Analysis 1), sodass

w1, 2  =  −b±b2−4ac2a

die komplexen Nullstellen der Parabel f sind. Die verwendete Wurzel ist nach obiger Notation die Funktion sqrt+. Aufgrund des ±-Zeichen spielt die Auszeichnung einer bevorzugten Wurzel in der rechten Halbebene aber keine Rolle. Es gilt w1 = w2 genau dann, wenn b2 = 4ac (Kriterium für eine doppelte Nullstelle). Sind w1, 2 die Nullstellen von f, so gilt

f (t)  =  a (z − w1) (z − w2)  für alle z  ∈  ℂ.(Linearfaktorzerlegung)

Da die Normierung einer Parabel (Division durch a) die Nullstellen nicht ändert, können wir zudem a = 1 anehmen, wenn es uns nur auf die Nullstellen ankommt.

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Die Parabel f mit f (z) = z2 + 1 = (z − i)(z + i). Die Werte auf dem Achsenkreuz sind reell. Die Funktion ist gerade (f (−z) = f (z)), sodass der Farbverlauf punktsymmetrisch ist.

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Die Parabel f (z) = z2 + 1 = (z − i)(z + i) als Vektorfeld.

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Die Parabel f (z) = z2 + 2i  =  (z − w1) (z − w2) mit w1,2 = ± (1 − i).

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f (z)  =  z2 − i z − (1 + i)  =  (z − w1) (z − w2) mit w1 = 1 + i, w2 = − 1.

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f (z)  =  z2 − 1/16  =  (z − 1/4) (z + 1/4).