Die Kutta-Joukowsky-Abbildung

Eine bemerkenswerte rationale Funktion ist die Kutta-Joukowsky-Abbildung kj : ℂ* → ℂ mit

kj(z) = ¹₂ (z + ¹_z) = ^z² + z_2z für alle z ≠ 0.

Die Abbildung wird manchmal auch ohne den Faktor 1/2 definiert. In der Funktionentheorie ist die skalierte Form besonders naheliegend, da sie bei den komplexen trigonometrischen Funktionen so auftaucht.

Elementare Eigenschaften

(a)	kj hat einen Pol bei 0 und Nullstellen bei ± i.

(b)

Für alle z ≠ 0 gilt:

(i)	kj(z) = kj(z),(Konjugation)

(ii)	kj(1/z) = kj(z),(Invertierungs-Invarianz)

(iii)

sq(z) = 2 z kj(z) − 1,

(iv)	− i kj(iz) = 1/2 (z − 1/z).

Damit ist des nicht nötig, eine Minus-Version „z − 1/z“ zu betrachten.

(c)	Auf ℝ* gilt kj(x) ≥ 1 für x > 0, kj(x) ≤ −1 für x < 0. Dies folgt aus 0 ≤ (x − 1)² = x² − 2x + 1, sodass x² + 1 ≥ 2x. Hieraus ergibt sich x + 1/x ≥ 2 für x > 0 und x + 1/x ≤ 2 für x < 0. Insgesamt ist kj [ℝ* ] = ] −∞, 1 ] ∪ [ 1, ∞ [.

(d)

Das auf der reellen Achse fehlende Werteintervall ] −1, 1 [ wird auf dem Einheitskreis K durchlaufen, und zwar einmal oberhalb und einmal unterhalb der x-Achse. Denn für alle x  ∈  ℝ gilt:

kj(e^ix) = (e^ix + e^−ix)/2 = Re(e^ix) = cos(x).

Für die abgeschlossene obere bzw. untere Kreislinie K^± gilt also:

kj [ K⁺ ] = kj [ K⁻ ] = [ −1, 1 ].

Umkehrung

Lösen wir w = kj(z) nach z auf, so erhalten wir 2w = z + 1/z. Multiplikation mit z und Umstellung ergibt die Gleichung

z² − 2wz + 1 = 0,

die wir bei der Diskussion der allgemeinen Wurzeln bereits betrachtet haben. Sie wird mit zwei Schnitten ] −∞, 1 ] und [ 1, ∞ [ stetig gelöst durch

z_1,2 = w ± i $\sqrt{1 - w^{2}}$ .

Wegen kj(i) = 0 folgt aus „i = 0 ± i $\sqrt{1 - 0^{2}}$ = ± i“ ein positives Vorzeichen, wenn für z = i aufgelöst wird. Für z = − i wählen wir Minus.

Insgesamt ergibt sich mit der oberen Halbebene ℍ = W( ] 0, ∞ [ ) und der doppelt geschlitzten Ebene ℂ^− − = ℂ − { x  ∈  ℝ | |x| ≥ 1 }:

kj : ℍ → ℂ^− − ist biholomorph mit

kj⁻¹ : ℂ^− − → ℍ, kj⁻¹(z) = z + i $\sqrt{1 - z^{2}}$ für alle z  ∈  ℂ^− −.

Erweitert gilt kj : ℍ ∪ ℝ* → ℂ bijektiv.

Daneben führt auch die Einheitskreisscheibe zu Bijektionen. Es gilt

kj : U₁(0) → ℂ − [ −1, 1 ] biholomorph.

Wir überlassen die ausführlichen Nachweise dieser Abbildungseigenschaften dem Leser zur Übung.

Die Kutta-Joukowsky-Abbildung kj mit kj(z) = (z + z⁻¹)/2 für z ≠ 0. Die Abbildung hat Nullstellen bei ±i und einen Pol bei 0. Für z mit großem Betrag ist f (z) ∼ z/2, sodass die Färbung asymptotisch in eine skalierte Grundfärbung übergeht.

Mit Gitter auf einem kleineren Ausschnitt. Genau die Werte auf K₁ und ℝ sind reell. Im Einheitskreis und der oberen wie unteren Halbebene finden wir das volle Farbspektrum.

kj in voller Schönheit auf dem Einheitskreis

3d-Plot der Kutta-Joukowsky-Abbildung

Die Umkehrabbildung kj⁻¹ : ℂ^− − → ℍ, kj⁻¹(z) = z + i $\sqrt{1 - z^{2}}$ mit zwei Schnitten.

Die Funktion kann unstetig nach ℂ fortgesetzt werden (mit gleicher Formel).

Das Bild kj [ K ] des Kreises K mit Mittelpunkt z₀ = (1/4, 1/4) und Radius r = |1 − z₀|. Die Farben entsprechen einander. Die Tragflächenform war ein Hauptmotiv für die Einführung der Funktion durch Kutta und Joukowsky.

Die Cayley-Abbildung

Eine weitere bemerkenswerte rationale Funktion ist die biholomorphe Cayley-Abbildung f : ℍ → U₁(0) und ihre Umkehrabbildung f ⁻¹ : U₁(0) → ℍ, die definiert sind durch

f (z) = ^z − i_z + i für alle z  ∈  ℍ, f ⁻¹(z) = i ^1 + z_1 − z für alle z  ∈  U₁(0).

Die Cayley-Abbildung auf einem Ausschnitt der offenen oberen Halbebene ℍ. Die Farben finden sich im Inneren des Einheitskreises der Grundfärbung.

Die Umkehrabbildung der Cayley-Abbildung auf der Einheitskreisscheibe U₁(0).

Die auf ℂ − { − i } definierte Abbildung f mit f (z) = ^z − i_z + i.

Die Abbildung g : ℂ − { i } → ℂ mit g(z) = i ^1 + z_1 − z.