7. Wegintegrale

Bei der Berechnung des Riemann-Integrals einer reellen Funktion f : [ a, b ] → ℝ laufen wir anschaulich von a nach b und summieren dabei die Funktionswerte auf. Formal lässt sich dieses Aufsummieren als Grenzwert von signierten Rechtecksflächen einführen. Die komplexe Integration behält die kompakten reellen Intervalle [ a, b ] bei und transportiert sie mit Hilfe eines (stückweise stetig differenzierbaren) Weges γ : [ a, b ] → ℂ in die komplexen Zahlen. Das ist nichts Neues: Aus der Sicht der mehrdimensionalen Analysis ist γ eine Kurve in der Ebene ℝ² der Form „stetig differenzierbar mit ein paar Knicken“. Auf einem Weg lauert nun eine stetige komplexwertige Funktion f, deren Werte wir entlang des Weges aufsummieren. Dabei müssen wir die Funktionswerte f (γ(t)) mit der Momentangeschwindigkeit γ′(t) „korrigieren“, um ein Integral zu erhalten, das unabhängig davon ist, wie wir den Weg durchlaufen. Auch dieses Vorgehen ist aus der Theorie der reellen Kurven gut bekannt. Wie bei der Differentialrechnung entsteht aus den alten Ideen wieder die Magie des Komplexen: Die Momentangeschwindigkeit geht nun als komplexe Multiplikation ein, sodass ein von 0 verschiedener Korrekturfaktor γ′(t) eine Drehstreckung bewirkt. Damit kann zum Beispiel ein Integral über die konstante 1-Funktion Null werden.