Integrationsregeln
Für komplexe Wegintegrale gelten Varianten der bekannten reellen Integrationsregeln. Die partielle Integration lautet:
Satz (partielle Integration)
Seien f, g : P → ℂ stetig differenzierbar. Weiter sei γ : [ a, b ] → P ein Weg. Dann gilt:
∫γ f (z) g′(z) dz = − ∫γ f ′(z) g(z) dz.
Der Satz lässt sich aus der Definition des Wegintegrals und der partiellen Integrationsregel für reelle Integrale herleiten (Übung).
Wie schon erwähnt wird sich später zeigen, dass im Satz die Holomorphie von f und g genügen. Die Ableitung einer holomorphen Funktion ist − aufgrund der Existenz von Potenzreihenentwicklungen − automatisch stetig und weiter sogar beliebig oft differenzierbar.
Als Substitutionsregel dient in der komplexen Integrationstheorie:
Satz (Transformationsregel)
Seien f : P → ℂ stetig, g : Q → P stetig differenzierbar (mit Q ⊆ ℂ offen und nichtleer). Weiter sei α : [ a, b ] → Q ein Weg in Q und γ : [ a, b ] → ℂ der Weg γ = g ∘ α. Dann gilt spur(γ) ⊆ P und
∫γ f (z) dz = ∫α f (g(ζ)) g′(ζ) dζ.
Beweis
Für alle t ∈ [ a, b ] ist γ(t) = g(α(t)) ∈ P, sodass spur(γ) ⊆ P. Weiter gilt:
| ∫γ f (z) dz | = ∫ba f (γ(t)) γ′(t) dt |
| = ∫ba f (g(α(t))) g′(α(t)) α′(t) dt | |
| = ∫α f (g(ζ)) g′(ζ) dζ. |
Der erste Schritt ergibt sich aus der Definition des Wegintegrals. Im zweiten Schritt verwenden wir γ(t) = g(α(t)) und die Kettenregel für g ∘ α. Der letzte Schritt ist wieder die Definition des Wegintegrals, nun für den Weg α und die stetige Funktion (f ∘ g) · g′.