9. Die komplexe Exponentialfunktion und Logarithmen

Die komplexe Exponentialfunktion exp : ℂ → ℂ wird oft als die wichtigste Funktion der Mathematik bezeichnet. Sie ist unzweifelhaft die Königin der elementaren Funktionen. Im Komplexen verbindet sie zwei vollkommen unterschiedliche Abbildungseigenschaften: Ein exponentielles Wachstum (im Realteil der Stelle) und eine Kreisaufwicklung (im Imaginärteil der Stelle). Aufgrund der Periodizität der Funktion ist für die Bildung einer Umkehrfunktion erneut eine Einschränkung nötig. Die Wahl fällt auf den waagrechten Streifen mit S(] −π, π [) und liefert Hauptzweig des Logarithmus auf der geschlitzten Ebene ℂ⁻. Weiter besprechen wir Exponentialfunktionen zu allgemeinen Basen sowie Potenzfunktionen.