Expolarkoordinaten
Die Darstellung z = (r, φ)polar einer komplexen Zahl z ∈ ℂ* ist äquivalent zu z = r eiφ. Eine interessante Variante der Polarkoordinaten erhalten wir, wenn den Radius als Bild der Exponentialfunktion schreiben.
Definition (Expolarkoordinaten)
Für alle s, φ ∈ ℝ setzen wir
(s, φ)expolar = es + i φ ∈ ℂ*.
Gilt z = (s, φ)expolar, so heißen s, φ exponentielle Polarkoordinaten oder kurz Expolarkoordinaten von z.
Der Zusammenhang zu den gängigen Polarkoordinaten ist gegeben durch
(r, φ)polar = (log(r), φ)expolar, (s, φ)expolar = (es, φ)polar.
Beispiel
(1) | (0, 0)expolar = 1, (1, π/2)expolar = i e, (−1, π/2)expolar = i/e. |
(2) | Die Zahlen auf dem Einheitskreis K1 haben die Form (0, φ)expolar. Für s < 0 liegt (s, φ)expolar im Einheitskreis, für s > 0 außerhalb. |
Das Expolargitter wird umso feinmaschiger, je näher wir uns der Null nähern. Die Sonderrolle der Null wird bereits im Ansatz berücksichtigt, da die Exponentialfunktion den Wert 0 auslässt.
In den Umrechnungsformeln wird der exponentielle Radius besonders wirksam. Der Wechsel zwischen Polarkoordinaten mit Winkeln in ] −π, π ] und kartesischen Koordinaten wird mit der rechten Halbebene H = ] 0, ∞ [ × ℝ beschrieben durch die Abbildungen Φ : H → ℂ*, Ψ : ] 0, ∞ [ × ] −π, π ] mit
Φ(r, φ) = r (cos(φ), sin(φ)),(polar nach kartesisch)
Ψ(x, y) = (, arctan2(x, y)).(kartesisch nach polar)
Verwenden wir exponentielle Polarkoordinaten, so erhalten wir mit dem Streifen W = W(] −π, π ]) die Abbildungen Φ : ℂ → ℂ*, Ψ : ℂ* → W mit
Φ(s, φ) = exp((s, φ)),(expolar nach kartesisch)
Ψ(x, y) = log+((x, y)).(kartesisch nach expolar)
Kurz: Φ = exp, Ψ = log+. Die Überlegung wirft noch einmal ein neues Licht auf die komplexe Exponentialfunktion und einen zugehörigen Logarithmus. Die Funktionen rechnen kartesische und modifizierte Polarkoordinaten ineinander um.