Existenz holomorpher Logarithmen

Bei der Diskussion der Index-Funktion hatten wir Wege geliftet. Mit Hilfe des Integralssatzes erhalten wir ein Lifting für Funktionen:

Satz (Exponentialdarstellung einer Funktion)

Sei G ein Sterngebiet mit Zentrum z₀, und sei f : G → ℂ holomorph und nullstellenfrei. Dann gilt:

(a)	Es gibt ein (modulo 2π i eindeutiges) holomorphes g : G → ℂ mit f (z) = exp(g(z)) für alle z  ∈  G.

(b)	f (z) = f (z₀) exp(I(f ′/f, [ z₀, z ])) für alle z  ∈  G.

Beweis

Da f nullstellenfrei ist, existiert ein modulo 2π i eindeutiges w₀  ∈  ℂ mit exp(w₀) = f (z₀). Wir definieren g : G → ℂ durch

g(z) = I(f ′/f, [ z₀, z ]) + w₀ = ∫_{[ z₀, z ]}^f ′(ζ)_f (ζ) dζ + w₀ für alle z  ∈  G.

Wie früher folgt (durch Ableitung von h(z) = f (z) · exp(− g(z))), dass f = exp ∘ g. Die Aussage (b) folgt aus dem Additionstheorem.

Durch Bildung einer Kreiskette erhalten wir ohne Voraussetzung an G:

Satz (Exponentialdarstellung einer Funktion, II)

Sei f : G → ℂ holomorph und nullstellenfrei, und sei z₀  ∈  G. Weiter seien z  ∈  G und γ : [ a, b ] → ℂ ein beliebiger Weg in G von z₀ nach z. Dann gilt:

f (z) = f (z₀) exp(I(f ′/f, γ)) für alle z  ∈  G.

Damit ist die holomorphe Funktion f ′/f wegunabhängig modulo 2πi in G: Die Integrale über f ′/f unterscheiden sich für zwei Wege in G, die sich die Endpunkte teilen, nur um ein ganzzahliges Vielfaches von 2πi. Speziell ist I(f ′/f)/(2π i)  ∈  ℤ für jeden geschlossenen Weg in γ.

Beweis

Seien a = t₀ < … < t_n + 1 = b und U₀, …, U_n ⊆ G offen, sodass γ_k = γ↾[ t_k, t_k + 1 ] in U_k verläuft für k = 0, …, n. Nach dem vorangehenden Satz (und Wegunabhängigkeit in konvexen Mengen) gilt dann für z_k = γ(t_k):

^{f (z_k + 1)}_{f (z_k)} = exp(I(f ′/f, γ_k)) für k = 0, …, n.

Durch Produktbildung und Anwendung des Additionstheorems folgt die Behauptung. Der Zusatz folgt aus der Periodizität von exp.

Aus dem Satz ergibt sich noch einmal:

Korollar (Eigenschaften der Index-Funktion)

Sei γ ein geschlossener Weg in ℂ, und sei G_γ = ℂ − spur(γ). Dann gilt ind_γ(p)  ∈  ℤ für alle p  ∈  G_γ. Weiter ist γ auf den Komponenten von G_γ konstant.

Beweis

Sei p  ∈  G_γ. Die erste Behauptung folgt aus dem Satz für f : G → ℂ mit f (z) = z − p, sodass f ′(z)/f (z) = 1/(z − p) der Integrand der Index-Funktion ist. Der Zusatz folgt nun wieder aus der Stetigkeit der Indexfunktion.