Abelisierung

Führen wir in der freien Gruppe L(a₁, …, a_n) eine weitere Regel ein, nämlich die Vertauschungsregel

„a b = b a für alle a, b  ∈  { a₁, …, a_n, a₁⁻¹, …, a_n⁻¹ }“,

so erhalten wir eine abelsche Gruppe. Diese Gruppe ist isomorph zur Gruppe ℤⁿ mit der punktweisen Addition und 0 = (0, …, 0) als neutralem Element.

Anschaulich besagt die Regel: Aufeinanderfolgende Zeichen eines Worts dürfen vertauscht werden. Durch mehrfache Anwendung können wir gleiche Zeichen gruppieren, wodurch Reduzierungen möglich werden. Durch die Regel entstehen Wörter der Normalform a₁^j₁ … a_n^j_n mit (j₁, …, j_n)  ∈  ℤⁿ. Der Isomorphismus lässt sich ablesen.

Beispiel

Aus dem Wort a b a c⁻² b⁻¹ c⁻¹ wird mit der Vertauschungsregel das Wort a² c⁻³, das wir in ℤ³ in der Form (2, 0, − 3) notieren können.

Algebraisch äquivalent zur Vertauschungsregel ist die Bildung der Faktorgruppe G/[ G, G ] mit G = L(a₁, …, a_n). Dabei ist für jede Gruppe G die Kommutator-Untergruppe [ G, G ] definiert durch

[ G, G ] = { [ a, b ] | a, b  ∈  G }, wobei [ a, b ] = a b a⁻¹ b⁻¹ für alle a, b  ∈  G.

Diese Untergruppe ist der kleinste Normalteiler H von G, für den die Faktorgruppe G/H kommutativ ist. Die Bildung von G/[ G, G ] wird deswegen auch als Abelisierung von G bezeichnet. Die Konstruktion ist für jede Gruppe G durchführbar. In unserem Fall G = L(a₁, …, a_n) entspricht sie der Einführung der Vertauschungsregel für Wörter.

Die Abelisierung ist für die Integration ebenso natürlich wie bedeutsam: Nach der Aufspaltungsregel können wir ein Integral über einen Weg γ₁ … γ_n immer als Summe der Integrale über die Teilwege γ₁, …, γ_n schreiben, sodass sich hier die Summennotation γ₁ + … + γ_n anbietet. Die Reihenfolge spielt keine Rolle. Wir können γ₁, …, γ_n als Menge von geschlossenen Wegen auffassen, die wir − unter anderem − der Integration übergeben können. Beim Homologie-Begriff werden wir hierauf zurückkommen.