Berechnung von Integralen
Die Integralformel stellt eine holomorphe Funktion f in der Variablen z als Integral mit z als Parameter dar. Fixieren wir ein z, so können wir die Formel zur Berechnung von Integralen verwenden. Umstellung und Umbenennung der Variablen zeigt:
Satz (Integralformel, Berechnungsform)
Seien f : P → ℂ holomorph, U = Ur(p) ⊂ ⊂ P und w0 ∈ U. Dann gilt
∫∂U f (z)z − w0 dz = 2 π i f (w0).
Ein typisches Beispiel ist:
Beispiel
Sei g : ℂ − { i, − i } → ℂ definiert durch
g(z) = 2 sin(z)z2 + 1 für alle z ≠ i, − i.
Sei U = U2(0). Durch Partialbruchzerlegung und Anwendung der Integralformel auf f (z) = 2 sin(z) erhalten wir (mit sin(i) = i sinh(1)):
| ∫∂U g(z) dz | = ∫∂U − i sin(z)z − i dz + ∫∂U i sin(z)z − (− i) dz |
| = 2π i (− i) sin(i) + 2π i i sin(− i) = 4π sin(i) | |
| = 4π i sinh(1) = 2π i (e + 1/e). |
Allgemein gilt:
Satz (Einheitswurzelintegrale)
Sei f : P → ℂ holomorph, und sei r > 1 mit U = Ur(0) ⊂ ⊂ P. Weiter sei n ≥ 1 und ζk = exp(k 2πi/n) für k = 0, …, n − 1. Dann gilt
∫∂U f (z)zn − 1 dz = 2π in ∑k < n ζk f (ζk).
Der Beweis wird durch Partialbruchzerlegung von 1/(zn − 1) geführt und mit der im Kapitel über rationale Funktionen gefundenen Formel hierzu recht einfach (Übung). Im Fall f = 1 ist das Integral gleich 2πi für n = 1 und gleich 0 für n > 1 (Summe der Einheitswurzeln), in Übereinstimmung mit dem Hauptbeispiel.
Illustration zu Einheitswurzelintegralen für den „Gauß-Fall“ n = 17. Die Einheitswurzeln sind die Pole von 1/(zn − 1).
Beispiel
Für f (z) = z, n = 2 und U = Ur(0) mit r > 1 erhalten wir:
∫∂U zz2 − 1 dz = π i (1 + (−1)2) = 2 π i.
Der Integrand hat keine Stammfunktion in U.
Die systematische Integralberechnung durch Sammeln der (−1)-Koeffizienten im Inneren eines Weges ist das Thema des Residuenkalküls. Wir kommen in einem eigenen Kapitel darauf zurück.