Die Cauchy-Integralformeln für die Ableitungen

Setzen wir die Taylor-Formel a_n = f ⁽ⁿ⁾(p)/n! in den Entwicklungssatz ein, so erhalten wir durch einen Kreiswechsel eine Formel für f ⁽ⁿ⁾(z):

Satz (Integralformeln von Cauchy für die Ableitungen)

Seien f : P → ℂ holomorph, p  ∈  P und U = U_r(p) ⊂ ⊂ P. Dann gilt für alle n und z  ∈  U:

(a)	f ⁽ⁿ⁾(z) = ^n!_2πi ∫_∂U ^f (ζ)_{(ζ − z)^n + 1} dζ,(Integralformel)

(b)	\|f ⁽ⁿ⁾(z)\| ≤ n! r ^{∥ f ∥_∂U}_{d_z^n + 1},(Abschätzung) wobei wieder d_z = inf_{ζ  ∈  ∂U} \|ζ − z\| = r − \|z − p\|.

Beweis

Sei z  ∈  U. Dann gibt es ein ε > 0 und ein r < R mit U_ε(z) ⊆ U_r(p). Wir setzen V = U_ε(z). Dann gilt für alle n:

^{f ⁽ⁿ⁾(z)}_n!	= ¹_2π i ∫_∂V ^f (ζ)_{(ζ − z)^n + 1} dζ
	= ¹_2π i ∫_∂U ^f (ζ)_{(ζ − z)^n + 1} dζ.

Dabei wenden wir zuerst die Taylor-Formel für die Koeffizienten und die Koeffizientenformel des Entwicklungssatzes an, mit dem Entwicklungspunkt z statt p. Der zweite Schritt ist der übliche Kreiswechsel.

Die Standardabschätzung liefert (b) mit der Weglänge 2π r.

Die Cauchy-Abschätzungen für die Ableitungen f ⁽ⁿ⁾ verallgemeinern die Mittelwertungleichung.