Ablesen des Konvergenzradius

Die maximale Entwicklung bis zum Rand des Definitionsbereichs einer holomorphen Funktion f : P → ℂ erlaubt es oft, den Konvergenzradius R einer Potenzreihendarstellung f (z) = ∑_n a_n (z − p)ⁿ sofort anzugeben: Wir messen den Abstand von p bis zu einer nicht holomorph fortsetzbaren Stelle am Rand von P (etwa einer Polstelle von f oder f ′).

Beispiel

Sei sqrt : ℂ⁻ → ℂ. Die unüberwindbare Stelle ist der Nullpunkt. Für p = 1 gilt R = 1 (Abstand zur Null). Für p = −1 + i gilt R = $\sqrt{2}$ (Abstand zur Null, nicht zu −1). Die Potenzreihenentwicklung überlappt hier den Schnitt ] −∞, 0 ] und liefert einen (eindeutigen) Ausschnitt einer Wurzelfunktion mit einem Schnitt, der nicht durch den Konvergenzkreis läuft.

Die Berechnung von R mit Hilfe der Formeln von Cauchy-Hadamard und Euler kann also oft entfallen. Stärker kann der abgelesene Radius zur Identifikation der Grenzwerte in diesem Formeln verwendet werden.

Beispiel: Bernoulli-Zahlen

Sei A = { k 2 π i | k  ∈  ℤ* }. Wir betrachten die im Nullpunkt stetig fortgesetzte Funktion f : ℂ − A → ℂ mit

f (z) = ^z_e^z − 1 = ¹_{1 + z/2 + z²/6 + … + zⁿ/(n + 1)! + …}

Die Menge A ist die Menge der Polstellen von f. Die Funktion lässt sich um p = 0 als Potenzreihe mit Konvergenzradius R darstellen. Wir schreiben

f (z) = ∑_n B_n/n! zⁿ für alle z  ∈  U_R(0).

Die dabei auftretenden Zahlen B_n, n ≥ 0, heißen die Bernoulli-Zahlen. Nach der Taylor-Formel für die Koeffizienten gilt B_n = f ⁽ⁿ⁾(0) für alle n.

Die aus der Sicht der Null nächstgelegenen Pole ± 2π i zeigen, dass R = 2π. Der Konvergenzradius R ist mit Hilfe der Formel von Cauchy-Hadamard nicht leicht zu berechnen. Umgekehrt erhalten wir nun

(limsup_n ⁿ $\sqrt{{|B}_{k} |}$ )⁻¹ = 2π.

Die ersten Bernoulli-Zahlen berechnen sich zu:

B₀ = 1, B₁ = − ¹₂, B₂ = ¹₆, B₃ = 0, B₄ = − ¹₃₀, B₅ = 0,

B₆ = ¹₄₂, B₇ = 0, B₈ = − ¹₃₀, B₉ = 0, B₁₀ = ⁵₆₆.

Die Entwicklung von f im Nullpunkt beginnt also mit

f (z) = 1 − ^z₂ + ^z²₁₂ − ^z⁴₇₂₀ + ^z⁶₃₀₂₄₀ − ^z⁸_1209600 + …

Die Bernoulli-Zahlen spielen in der analytischen Zahlentheorie eine wichtige Rolle. Man kann folgende Rekursionsformel zeigen:

B₀ = 1, B_n = − ¹_n + 1 ∑_k < n $( \binom{n + 1}{k} )$ B_k für alle n > 1.

Weiter kann man zeigen, dass sich mit Hilfe der Bernoulli-Zahlen die Werte der Zeta-Funktion für alle geraden Zahlen berechnen lassen:

∑_n ≥ 1 ¹_n^2k = ζ(2k) = ^{(2π)^2k}_{2 (2k)!} |B_2k| für alle n ≥ 1.

Damit erhalten wir insbesondere

ζ(2) = ^π²₆, ζ(4) = ^π⁴₉₀.

Die Funktion f (z) = z/(e^z − 1) (stetig fortgesetzt im Nullpunkt).

Geometrische Beschreibung der Holomorphie

Durch die Potenzreihenentwicklung können wir die lokalen Abbildungseigenschaften einer holomorphen Funktion, wie sie sich in unseren Farbplot zeigen, vollständig beschreiben. Seien hierzu G ein Gebiet, f : G → ℂ holomorph, p  ∈  G und

f (z) = ∑_n a_n (z − p)ⁿ bei p.

Wir nehmen o_f(p) < ∞, da sonst einfach eine Schwarzfärbung des Gebiets G vorliegt.

Konstanter Fall

Ist a₀ ≠ 0, so ist f ungefähr gleich f (p) ≠ 0 bei p. In einer Umgebung von p sehen wir also den Farbton von f (p).

Drehstreckung

Ist a₀ = 0 und a₁ ≠ 0 (d. h. o_f(p) = 1), so ist f eine Drehstreckung bei p mit dem Drehfaktor f ′(p),

f (z) = f ′(p) (z − p) + o(z − p) für z → p.

Ein Farbplot zeigt bei p einen schwarzen Punkt, der von einem vollen Farbspektrum umgeben ist. Die Grundfärbung wird bei p durch den Drehfaktor gedreht und skaliert und zusätzlich um o(z − p) stetig verbogen.

Monome

Ist a₁ = … a_k − 1 = 0 und a_k ≠ 0 (d. h. o_p(f) = k), so ist f ein skaliertes Monom (z − p)^k bei p,

f (z) = ^{f ⁽ⁿ⁾(p)}_k! (z − p)^k + o((z − p)^k) für z → p.

Ein Farbplot zeigt bei p einen schwarzen Punkt, der von einem k-fach durchlaufenen Farbspektrum umgeben ist. Die k-fache durch z^k erzeugte Färbung wird durch a_k gedreht und skaliert und zusätzlich um o((z − p)^k) stetig verbogen.

Diese Eigenschaften folgen alleine aus der Potenzreihenentwicklung. Wir hätten sie für die Klasse der in Potenzreihen entwickelbaren Funktionen formulieren können, ohne den Begriff der Holomorphie zu kennen. Die verblüffende Tatsache ist, dass die Holomorphie (einfache Differenzierbarkeit) die Entwickelbarkeit (beliebige Differenzierbarkeit plus Darstellbarkeit) nach sich zieht. Geometrisch formuliert: Ist eine Funktion an jeder Stelle entweder 0 oder eine affine Drehstreckung (bis auf ein o), so ist sie an jeder Stelle eine Potenzreihe und hat daher die obigen Abbildungseigenschaften.

Stopp der Entwicklung durch singuläre Punkte

Wir präzisieren die Anschauung einer „problematischen, unüberwindlichen“ Stelle.

Definition (regulärer und singulärer Randpunkt)

Sei f : P → ℂ holomorph. Ein p  ∈  ∂ P heißt regulär (für f), falls es ein holomorphes g : U_ε(p) → ℂ gibt, mit g(z) = f (z) für alle z  ∈  P ∩ U_ε(p). Andernfalls heißt p singulär.

Auf dem Rand des Konvergenzkreises einer Potenzreihe existiert immer mindestens ein singulärer Punkt:

Satz (Existenz singulärer Punkte auf dem Rand)

Sei R > 0 der Konvergenzradius einer Potenzreihe ∑_n a_n (z − p)ⁿ, sodass die durch durch die Reihe definierte Funktion f : U_R(p) → ℂ holomorph ist. Dann gibt es ein singuläres p  ∈  ∂ U_R(0).

Beweis

Ein Kompaktheitsargument zeigt, dass es andernfalls ein R* > R gibt, sodass sich f zu einer holomorphen Funktion f : U_R*(p) → ℂ fortsetzen lässt. Dann ist aber f auf U_R*(p) als Potenzreihe (mit den gleichen Koeffizienten a_n) darstellbar, sodass R > R*, Widerspruch.