Einfache Folgerungen aus dem Entwicklungssatz
Der Entwicklungssatz hat zahlreiche wichtige Sätze in seinem Gefolge. Wir geben zunächst drei Beispiele. Viele weitere Anwendungen werden wir im folgenden Kapitel kennenlernen.
1. Beliebige Differenzierbarkeit
Die erste einfache, aber ebenso starke Folgerung aus dem Entwicklungssatz ist die bereits angekündigte automatische mehrfache Differenzierbarkeit:
Korollar (Glattheit holomorpher Funktionen)
Sei f : P → ℂ holomorph. Dann ist f glatt (beliebig oft differenzierbar).
Beweis
Die Funktion f ist lokal als Potenzreihe darstellbar und Potenzreihen können beliebig oft gliedweise differenziert werden.
Die Holomorphie erzwingt die beliebige Differenzierbarkeit. Der Leser mag versuchen, mit Hilfe einer elementaren Charakterisierung der Holomorphie zu zeigen, dass eine holomorphe Funktion f : P → ℂ eine stetige Ableitung f ′ besitzt. Stärker (und induktiv äquivalent zur Glattheit) wäre, dass f ′ nicht nur stetig, sondern sogar wieder holomorph ist. Es scheint, dass die Theorie erst relativ weit entwickelt werden muss, um diese Ergebnisse nachweisen zu können.
2. Existenz lokaler Stammfunktionen
In der anderen Richtung erhalten wir:
Korollar (Existenz von lokalen Stammfunktionen)
Sei f : P → ℂ holomorph, und sei UR(p) ⊆ P. Dann besitzt f : UR(p) → ℂ eine Stammfunktion.
Beweis
Die Funktion f ist auf UR(p) als Potenzreihe darstellbar und Potenzreihen können gliedweise integriert werden.
Die lokale Existenz von Stammfunktionen hatten wir bereits gezeigt, sodass das zweite Korollar unter „wir können neu beweisen“ fällt. Es zeigt aber, welche Kraft und Klarheit in der Potenzreihenentwicklung steckt.
3. Der Satz von Morera
Mit Hilfe der automatischen mehrfachen Differenzierbarkeit erhalten wir folgende Umkehrung des Lemmas von Goursat-Pringsheim:
Satz (Satz von Morera)
Sei f : P → ℂ stetig. Für jedes Dreieck D mit D+ ⊆ P gelte I(f, D) = 0. Dann ist f holomorph.
Beweis
Sei p ∈ P. Dann gibt es ein ε > 0 mit U = Uε(p) ⊆ P. Aus der Voraussetzung über Dreieckswege folgt wie früher, dass die Funktion F : U → ℂ mit
F(z) = I(f, [ p, z ]) für alle z ∈ ℤ
wohldefiniert und eine Stammfunktion von f ist. Da F holomorph ist, existiert F″ (und allgemeiner F(k) für alle k). Dann gilt aber f ′ = F″, sodass f holomorph ist.
Durch Kontraposition erhalten wir: Ist f : P → ℂ stetig und nicht holomorph, so gibt es einen Dreiecksweg mit einem nicht verschwindenden Integral über f.