Ablesen des Konvergenzradius

Beispiel

Sei sqrt : ℂ⁻ → ℂ. Die unüberwindbare Stelle ist der Nullpunkt. Für p = 1 gilt R = 1 (Abstand zur Null). Für p = −1 + i gilt R = $\sqrt{2}$ (Abstand zur Null, nicht zu −1). Die Potenzreihenentwicklung überlappt hier den Schnitt ] −∞, 0 ] und liefert einen (eindeutigen) Ausschnitt einer Wurzelfunktion mit einem Schnitt, der nicht durch den Konvergenzkreis läuft.

Beispiel: Bernoulli-Zahlen

Sei A = { k 2 π i | k  ∈  ℤ* }. Wir betrachten die im Nullpunkt stetig fortgesetzte Funktion f : ℂ − A → ℂ mit

f (z)  =  ^z_e^z − 1  =  ¹_{1 + z/2 + z²/6 + … + zⁿ/(n + 1)! + …}

Die Menge A ist die Menge der Polstellen von f. Die Funktion lässt sich um p = 0 als Potenzreihe mit Konvergenzradius R darstellen. Wir schreiben

f (z)  =  ∑_n B_n/n! zⁿ  für alle z  ∈  U_R(0).

Die dabei auftretenden Zahlen B_n, n ≥ 0, heißen die Bernoulli-Zahlen. Nach der Taylor-Formel für die Koeffizienten gilt B_n = f ⁽ⁿ⁾(0) für alle n.

Die aus der Sicht der Null nächstgelegenen Pole ± 2π i zeigen, dass R = 2π. Der Konvergenzradius R ist mit Hilfe der Formel von Cauchy-Hadamard nicht leicht zu berechnen. Umgekehrt erhalten wir nun

(limsup_n ⁿ$\sqrt{{\text{|B}}_{\mathrm{k}}\mathrm{|}}$)⁻¹  =  2π.

Die ersten Bernoulli-Zahlen berechnen sich zu:

B₀  =  1,  B₁  =  − ¹₂,  B₂  =  ¹₆,  B₃  =  0,  B₄  =  − ¹₃₀,  B₅  =  0, 

B₆  =  ¹₄₂,  B₇  =  0,  B₈  =  − ¹₃₀,  B₉  =  0,  B₁₀  =  ⁵₆₆.

Die Entwicklung von f im Nullpunkt beginnt also mit

f (z)  =  1  −  ^z₂  +  ^z2₁₂  −  ^z4₇₂₀  +  ^z6₃₀₂₄₀  −  ^z8_1209600  +  …

Die Bernoulli-Zahlen spielen in der analytischen Zahlentheorie eine wichtige Rolle. Es gilt folgende Rekursionsformel:

B₀  =  1,  B_n  =  − ¹_n + 1 ∑_k < n $( \genfrac{}{}{0ex}{}{\mathrm{n}+1}{\mathrm{k}} )$ B_k  für alle n > 1.

Weiter kann man zeigen, dass sich mit Hilfe der Bernoulli-Zahlen die Werte der Zeta-Funktion für alle geraden Zahlen berechnen lassen:

∑_n ≥ 1 ¹_n^2k  =  ζ(2k)  =  ^(2π)2k_{2 (2k)!} |B_2k|  für alle n ≥ 1.

Damit erhalten wir insbesondere

ζ(2)  =  ^π2₆,  ζ(4)  =  ^π4₉₀.