Der Hebbarkeitssatz von Riemann
Satz (Hebbarkeitssatz)
Sei f : P − { p } → ℂ holomorph, mit p ∈ P. Weiter sei f beschränkt bei p. Dann gibt es eine eindeutige holomorphe Fortsetzung von f nach P. Insbesondere ist jede fast holomorphe Funktion holomorph.
Die Beweisidee ist, f an der Stelle p mit einer Parabel flachzudrücken, sodass sich eine holomorphe Funktion g mit g(p) = g′(p) = 0 ergibt. Eine Potenzreihendarstellung von g bei p startet mit der Ordnung zwei und nun lässt sich die Parabel wieder herauslösen, sodass eine Potenzreihenentwicklung von f dasteht.
Beweis
Sei g : P → ℂ definiert durch
g(z) = (z − p)2 f (z) für z ≠ p, g(p) = 0.
Dann gilt nach der lokalen Beschränktheit von f bei p, dass
g(z) = 0 + 0 (z − p) + (z − p)2 f (z) = 0 + 0 (z − p) + o(z − p) für z → p.
Damit ist g : P → ℂ holomorph mit g(p) = g′(p) = 0, sodass op(g) ≥ 2. Nach dem Entwicklungssatz gibt es eine Umgebung U = UR(p) ⊆ P von p mit
g(z) = ∑n an + 2 (z − p)n + 2 = (z − p)2 ∑n an + 2 (z − p)n für alle z ∈ U,
f (z) = ∑n an + 2 (z − p)n für alle z ∈ U − { p }.
Dann definiert „f (p) = an + 2“ die eindeutige holomorphe Fortsetzung von f nach P. Der Zusatz ist klar.
Es ist instruktiv, das Ergebnis und seinen Beweis mit der reellen Analysis zu vergleichen:
Vergleich mit dem reellen Betrag
Sei f : ℝ* → ℝ mit f (x) = |x| für alle x ≠ 0. Die Funktion ist differenzierbar und bei 0 lokal beschränkt. Sie hat keine differenzierbare Fortsetzung nach ℝ. Für die Funktion g : ℝ → ℝ mit
g(x) = x2 f (x) = x2 |x| für x ≠ 0, g(0) = 0
gilt g(x) = |x3| für alle x. Wie im Beweis erhalten wir g(0) = g′(0) = 1. Aber g ist nicht glatt, mehrfaches Ableiten zeigt einen „verborgenen Knick“. Genauer gilt g″(x) = 6x für x ≥ 0, g″(x) = − 6x für x < 0, sodass g″ im Nullpunkt nicht differenzierbar ist. Damit lässt sich g im Nullpunkt nicht in eine Potenzreihe entwickeln. An dieser Stelle bricht der Beweis ab.