5. Isolierte Singularitäten und Meromorphie

Wir untersuchen holomorphe Funktionen mit diskret verteilten Definitionslücken, sogenannten isolierten Singularitäten. In der Funktionentheorie lassen sich diese Ausnahmepunkte übersichtlich klassifizieren. Es gibt drei Typen:

Hebbare Singularitäten, Polstellen, Verdichtung von Funktionswerten.

Entsprechend dieser Klassifikation erhalten wir eine Entwicklung von f an einer isolierten Singularität als

Potenzreihe, Laurent-Reihe mit endlichem bzw. unendlichem Hauptteil.

Polstellen führen zur Definition des Körpers der bezüglich eines vorgegebenen Definitionsbereichs P meromorphen Funktionen. Für ein Gebiet G fällt dieser Körper − wie leider an dieser Stelle nicht zu zeigen ist −, mit dem Quotientenkörper der in G holomorphen Funktionen zusammen.