Hebbare Singularitäten
Aus dem Riemannschen Fortsetzungssatz folgt sofort:
Satz (Charakterisierung der Hebbarkeit)
Sei p eine isolierte Singularität von f : P → ℂ. Dann ist p genau dann hebbar, wenn f bei p beschränkt ist, d. h., es gibt ein Uε(p)* ⊆ P und ein s ∈ [ 0, ∞ [ mit |f (z)| ≤ s für alle z ∈ Uε(p)*.
Die Beschränktheit von f bei p können wir in der äquivalenten Form
limsupz → p |f (z)| < ∞(lokale Beschränktheit)
schreiben. Wir kommen bei einer beliebigen Annäherung an p in P über eine bestimmte Schranke nicht hinaus (im Betrag der Funktionswerte).
Die holomorphe Fortsetzung nach P ∪ { p } ist eindeutig. Wir nehmen die Fortsetzung wie bei den rationalen komplexen Funktionen oft stillschweigend vor und bezeichnen die fortgesetzte Funktion wieder mit f. Die Funktion f lässt sich dann bei p wie üblich in eine Potenzreihe entwickeln.
Beispiel
Sei f : ℂ* → ℂ definiert durch f (z) = sin(z)/z. Dann ist der Nullpunkt eine stetig hebbare Singularität von f, denn es gilt
sin(z) = 0 + sin′(0) (z − 0) + o(z − 0) = z + o(z) für z → 0.
Der eindeutige Fortsetzungswert ist „f (0) = 1“, sodass wir eine ganze (gleich bezeichnete) Funktion f : ℂ → ℂ erhalten, den komplexen Kardinalsinus. Alternativ können wir die Sinusreihe durch z dividieren:
f (z) = ∑n (−1)n z2n(2n + 1)! für alle z ∈ ℂ.
Der Kardinalsinus f (z) = sin(z)/z, stetig fortgesetzt im Nullpunkt durch f (0) = 1.