Hebbare Singularitäten

Aus dem Riemannschen Fortsetzungssatz folgt sofort:

Satz (Charakterisierung der Hebbarkeit)

Sei p eine isolierte Singularität von f : P → ℂ. Dann ist p genau dann hebbar, wenn f bei p beschränkt ist, d. h., es gibt ein U_ε(p)* ⊆ P und ein s  ∈  [ 0, ∞ [ mit |f (z)| ≤ s für alle z  ∈  U_ε(p)*.

Die Beschränktheit bei p können wir auch in der äquivalenten Form

limsup_z → p |f (z)| < ∞

schreiben. Wir kommen bei einer beliebigen Annäherung an p in P über eine bestimmte Schranke nicht hinaus (im Betrag der Funktionswerte).

Die holomorphe Fortsetzung nach P ∪ { p } ist eindeutig. Wir nehmen die Fortsetzung wie bei den rationalen komplexen Funktionen oft stillschweigend vor und bezeichnen die fortgesetzte Funktion auch wieder mit f. Die Funktion f lässt sich dann bei p wie üblich in eine Potenzreihe entwickeln.

Beispiel

Sei f : ℂ* → ℂ definiert durch f (z) = sin(z)/z. Dann ist der Nullpunkt eine stetig hebbare Singularität von f, denn es gilt

sin(z) = 0 + sin′(0) (z − 0) + o(z − 0) = z + o(z) für z → 0.

Der eindeutige Fortsetzungswert ist „f (0) = 1“, sodass wir eine ganze (gleich bezeichnete) Funktion f : ℂ → ℂ erhalten. Alternativ können wir die Sinusreihe durch z dividieren. Dadurch ergibt sich die Reihendarstellung

f (z) = ∑_n (−1)ⁿ ^z²ⁿ_(2n + 1)! für alle z  ∈  ℂ.

f (z) = sin(z)/z, stetig fortgesetzt im Nullpunkt durch f (0) = 1.

Polstellen

Leicht nachzuweisen ist (Übung):

Satz (Charakterisierung der Polstellen)

Sei p eine isolierte Singularität von f : P → ℂ. Dann sind äquivalent:

(a)	p ist ein Pol von f.

(b)	Es gibt ein holomorphes g : P ∪ { p } → ℂ und ein k ≥ 1 mit f (z) = ^g(z)_{(z − p)^k} für alle z  ∈  P, g(p) ≠ 0.

Im Satz sind g und k eindeutig bestimmt. Wie bei den rationalen Funktionen heißt k die Ordnung des Pols p. Eine Polstelle p entsteht durch die Division einer holomorphen Funktion durch eine Potenz von z − p. Wir können dies auch so formulieren: Ist g ≠ 0 in U = U_r(p) ⊆ P ∪ { p }, so gilt f = 1/h auf U für die Funktion h  ∈  𝒪(U) mit h(z) = (z − p)^k/g(z). Damit entstehen Pole an Nullstellen holomorpher Funktionen durch Invertierung.

Entwickeln wir g bei p in eine Potenzreihe, so erhalten wir eine Laurent-Darstellung von f bei p mit endlichem Hauptteil. Sei hierzu

g(z) = ∑_n a_n (z − p)ⁿ, a₀ ≠ 0, für alle z  ∈  U = U_R(p) ⊆ P ∪ { p }.

Dann gilt für alle z  ∈  U* = U_R(p)*:

f (z)	= ∑_n a_n (z − p)^n − k = ∑_{n ≥ − k} a_n + k (z − p)ⁿ
	= ∑_{n ≥ − k} b_n (z − p)ⁿ mit b_n = a_n + k für alle n ≥ − k, b_− k ≠ 0.

Wir fassen zusammen:

Satz (Laurent-Entwicklung um eine Polstelle)

Sei p ein Pol von f : P → ℂ. Weiter sei R ≤ ∞ maximal mit U = U_R(p)* ⊆ P. Dann gibt es eine eindeutig bestimmte Folge (b_n)_{n ≥ − k} in ℂ mit b_− k ≠ 0, sodass für alle z  ∈  U gilt:

(+) f (z)	= ∑_{n ≥ − k} b_n (z − p)ⁿ
	= ^b_− k_{(z − p)^k} + … + ^b₋₁_z − p + b₀ + b₁ (z − p) + b₂ (z − p)² + …

Die Laurent-Entwicklung startet bei o_f(p) = − k mit der Ordnung k des Pols p. Die Ordnung eines Pols ist aus traditionellen Gründen immer positiv.

Das Ergebnis ist ein Spezialfall der allgemeinen Laurent-Entwicklung mit einem Kreisring mit Innenradius r₁ = 0. Da sich die Laurent-Reihe in diesem Fall einfach berechnen lässt, schadet es nicht, das Ergebnis explizit zu notieren. Hat f mehrere Polstellen, so gibt es Laurent-Entwicklungen von f in polstellenfreien Kreisringen mit Polstellen am Innen- und Außenkreis.

Beispiele

(a)	Die rationale Funktion f : ℂ* → ℂ mit f (z) = 1/z³ hat eine Polstelle 0 der Ordnung 3. Es gilt o₀(f) = −3. Die Funktion ist bereits als Laurent-Reihe dargestellt.

(b)	Die Funktion f : ℂ* → ℂ mit f (z) = e^z/z² hat bei 0 einen Pol der Ordnung 2. Die Laurent-Entwicklung bei 0 ist f (z) = ¹_z² + ¹_z + ¹₂ + ^z₆ + … + ^zⁿ_(n + 2)! + … Sie konvergiert auf ℂ*.

Vgl. auch das Kapitel über rationale Funktionen für weitere Beispiele.

Der symbolische Wert ∞

Wie bei den rationalen Funktionen ist es nützlich, einer Funktion an einer Polstelle den symbolischen Wert ∞ zuzuweisen und mit den Regeln 1/∞ = 0 und 1/0 = ∞ in ℂ = ℂ ∪ { ∞ } zu rechnen. Damit können wir elegant beschreiben:

Polstellen und Nullstellen bei Invertierung

Polstellen entstehen durch Invertierung aus Nullstellen und umgekehrt. Genauer gilt mit Werten in ℂ:

Hat g : P → ℂ die Nullstellenmenge S und die Polstellenmenge N, so hat die Funktion f = 1/g : P → ℂ die Polstellenmenge S und die Nullstellenmenge N. Es gilt

o_p(f) = − o_p(g) für alle p  ∈  S ∪ N.

Die Buchstaben S und N stehen hier für „Südpol“ und „Nordpol“, entsprechend den Punkten 0 und ∞ auf der Riemannschen Zahlenkugel.

Wir können den Wert ∞ auch als Stelle zulassen und Funktionen f : ℂ → ℂ der Riemannschen Zahlenkugel betrachten. Die Topologie wird um die offenen Basismengen U_r(∞) = ℂ − cl(U_r(0)), r > 0, erweitert, wodurch die Stetigkeit von Funktionen (und vieles mehr) erklärt ist.

Wesentliche Singularitäten

Wir können den Typ einer isolierten Singularität p einer Funktion f : P → ℂ wie folgt bestimmen.

Singularitätstyp, I

Wir fragen nacheinander bis zum Erfolgsfall, ob eine Funktion der Folge

(z − p)⁰ f (z), (z − p)¹ f (z), (z − p)² f (z), …, (z − p)^k f (z), …

in einer Umgebung von p beschränkt ist. Gilt dies gleich für die Potenz 0, so ist p hebbar (o_p(f) = 0). Finden wir ein erstes k ≥ 1, so ist p ein Pol der Ordnung k (o_p(f) = − k). Finden wir kein k, so ist p eine wesentliche Singularität.

Singularitätstyp, II

Liegt eine Laurent-Entwicklung von f an einer isolierten Singularität p vor (mit Innenradius r₁ = 0), so lässt sich der Typ der Singularität einfach ablesen.

Leerer Hauptteil

Gilt a_n = 0 für alle n < 0, so ist p hebbar.

Endlicher Hauptteil

Gibt es ein größtes k > 0 mit a_−k ≠ 0, so ist f ein Pol der Ordnung k.

Unendlicher Hauptteil

Gilt a_n ≠ 0 für unendlich viele n < 0, so ist p wesentlich.

Beispiele

(1)

Sei f : ℂ* → ℂ definiert durch f (z) = exp(1/z) für alle z  ∈  ℂ. Dann ist der Nullpunkt eine wesentliche Singularität von f. Es gilt

f (z) = ∑_n ^z⁻ⁿ_n! = ∑_n ¹_{zⁿ n!} = ∑_{−∞ < n ≤ 0} ^zⁿ_(−n)! für alle z ≠ 0.

Die Reihe rechts ist die Laurent-Entwicklung von f bei 0. Sie hat einen unendlichen Hauptteil (und leerem Nebenteil). Es gilt o_p(f) = −∞.

(2)	Analog haben die auf ℂ* definierten Funktionen exp(1/z²), sin(1/z), csc(1/z) = ¹_sin(1/z) eine wesentliche Singularität im Nullpunkt.

(3)	Die Funktion f : ℂ⁻ → ℂ mit f (z) = exp(1/sqrt(z)) für alle z  ∈  ℂ⁻ hat keine isolierte Singularität im Nullpunkt.

Das Werteverhalten bei einer wesentlichen Singularität ist im scharfen Kontrast zu den Polstellen völlig wild:

Satz (Satz von Casorati-Weierstraß)

Sei p eine wesentliche Singularität von f : P → ℂ, und sei w  ∈  ℂ. Dann existiert eine Folge (z_n)_{n  ∈  ℕ} in P mit lim_n z_n = p und lim_n f (z_n) = w.

Der Beweis dieses bemerkenswerten Satzes ist überraschend kurz:

Beweis

Ohne Einschränkung können wir wieder p = 0 und w = 0 annehmen (durch Übergang zu f(z − p) − w). Wir führen den Beweis indirekt und zeigen:

(+)	Es gebe keine Nullfolge (z_n)_{n  ∈  ℕ} in P mit lim_n f (z_n) = 0, d. h. es gelte liminf_z → 0 \|f (z)\| = ε > 0. Dann ist p hebbar oder ein Pol von f.

Beweis von (+)

Sei g = 1/f. Dann gilt limsup_z → 0 |g(z)| = 1/ε < ∞, sodass g nach dem Riemannschen Fortsetzungssatz holomorph durch „g(0) = c“ für ein eindeutiges c fortgesetzt werden kann. Ist c = 0, so hat f = 1/g einen Pol bei p. Ist c ≠ 0, so ist f = 1/g beschränkt bei p, sodass p eine hebbare Singularität von f ist.

Bei einer wesentlichen Singularität können wir jede komplexe Zahl mit Funktionswerten ansteuern, wenn wir uns geeignet auf die Singularität zubewegen. In jeder noch so kleinen punktierten Umgebung U* = U_ε(p)* − { p } ⊆ P der Singularität p liegen die Funktionswerte dicht in ℂ, d. h. cl(f [ U* ]) = ℂ. Die Menge V = f [ U* ] ist offen nach dem Offenheitssatz. Ihr Komplement N = ℂ − V ist abgeschlossen und nirgends dicht, d. h. es gilt int(N) = ∅. Stärker gilt:

Satz (Großer Satz von Picard)

Sei p eine wesentliche Singularität von f : P → ℂ. Dann gilt eine der beiden folgenden Aussagen

(a)	Es gilt f [ U_ε(p)* ] = ℂ für alle ε > 0.

(b)	Es gibt ein c*  ∈  ℂ, sodass f [ U_ε(p)* ] = ℂ − { c* } für alle ε > 0.

Kurz: Die Funktion f nimmt in jeder Umgebung von p jeden Wert mit höchstens einer Ausnahme an. Wir verweisen den Leser auf die Literatur für einen Beweis des Satzes.

Beispiel

Für die Funktion exp(1/z) auf ℂ* ist beispielsweise 0 der Ausnahmepunkt; jeder andere Punkt wird in jeder Umgebung U_ε(0)* des Nullpunkts angenommen (und automatisch dann sogar unendlich oft, da wir die punktierte Umgebung beliebig verkleinern können).

f : ℂ* → ℂ mit f (z) = exp(1/z) für alle z ≠ 0. Die Singularität ist wesentlich, sodass sich die Farben dort häufen.

f : ℂ* → ℂ mit f (z) = exp(1/z²) für alle z ≠ 0. Die roten Punkte bei 0 sind kaum zu vermeidende Rechenfehler.

f : ℂ* → ℂ mit f (z) = sin(1/z) für alle z ≠ 0.

f : ℂ* → ℂ mit f (z) = csc(1/z) = 1/sin(1/z) für alle z ≠ 0.