Wesentliche Singularitäten
Aus den obigen Ergebnissen folgt, dass wie den Typ einer isolierten Singularität p einer Funktion f : P → ℂ wie folgt bestimmen können.
Bestimmung des Singularitätstyps, I
Wir fragen nacheinander bis zum Erfolgsfall, ob eine Funktion der Folge
(z − p)0 f (z), (z − p)1 f (z), (z − p)2 f (z), …, (z − p)k f (z), …
in einer Umgebung von p beschränkt ist. Gilt dies gleich für die Potenz 0, so ist p hebbar (op(f) = 0). Finden wir ein erstes k ≥ 1, so ist p ein Pol der Ordnung k (op(f) = − k). Finden wir kein k, so ist p eine wesentliche Singularität.
Bestimmung des Singularitätstyps, II
Liegt eine Laurent-Entwicklung von f an einer isolierten Singularität p vor (mit Innenradius r1 = 0), so lässt sich der Typ der Singularität anhand der Koeffizienten an, n ∈ ℤ, ablesen:
Leerer Hauptteil
Gilt an = 0 für alle n < 0, so ist p hebbar.
Endlicher Hauptteil
Gibt es ein größtes k > 0 mit a−k ≠ 0, so ist p ein Pol der Ordnung k.
Unendlicher Hauptteil
Gilt an ≠ 0 für unendlich viele n < 0, so ist p wesentlich.
Beispiele
(1) | Sei f : ℂ* → ℂ definiert durch f (z) = exp(1/z) für alle z ∈ ℂ. Dann ist der Nullpunkt eine wesentliche Singularität von f. Es gilt f (z) = ∑n z−nn! = ∑n 1zn n! = ∑−∞ < n ≤ 0 zn(−n)! für alle z ≠ 0. Die Reihe rechts ist die Laurent-Entwicklung von f bei 0. Sie hat einen unendlichen Hauptteil und konstanten Nebenteil. Es gilt op(f) = −∞. |
(2) | Analog haben die auf ℂ* definierten Funktionen exp(1/z2), sin(1/z), csc(1/z) = 1sin(1/z) eine wesentliche Singularität im Nullpunkt. |
(3) | Die Funktion f : ℂ− → ℂ mit f (z) = exp(1/sqrt(z)) für alle z ∈ ℂ− hat keine isolierte Singularität im Nullpunkt. |
Das Werteverhalten einer Funktion bei einer wesentlichen Singularität ist im scharfen Kontrast zu Polstellen völlig wild:
Satz (Satz von Casorati-Weierstraß)
Sei p eine wesentliche Singularität von f : P → ℂ, und sei w ∈ ℂ. Dann existiert eine Folge (zn)n ∈ ℕ in P mit limn zn = p und limn f (zn) = w.
Der Beweis dieses bemerkenswerten Satzes ist überraschend kurz.
Beweis
Ohne Einschränkung können wir p = 0 und w = 0 annehmen (durch Übergang zu f(z + p) − w). Wir führen den Beweis indirekt und zeigen:
| (+) | Es gebe keine Nullfolge (zn)n ∈ ℕ in P mit limn f (zn) = 0, d. h. es gelte liminfz → 0 |f (z)| = ε > 0. Dann ist p hebbar oder ein Pol von f. |
Beweis von (+)
Sei h = 1/f. Dann gilt limsupz → 0 |h(z)| = 1/ε < ∞. Nach dem Riemannschen Fortsetzungssatz kann h holomorph durch „h(0) = c“ für ein eindeutiges c fortgesetzt werden. Ist c = 0, so hat f einen Pol bei p (nach dem Charakterisierungssatz für Pole). Ist c ≠ 0, so ist f = 1/h beschränkt bei p, sodass p eine hebbare Singularität von f ist.
Bei einer wesentlichen Singularität können wir jede komplexe Zahl mit Funktionswerten ansteuern, wenn wir uns geeignet auf die Singularität zubewegen. In jeder noch so kleinen punktierten Umgebung U* = Uε(p) − { p } ⊆ P der Singularität p liegen die Funktionswerte dicht in ℂ, d. h. cl(f [ U* ]) = ℂ. Die Menge V = f [ U* ] ist offen nach dem Offenheitssatz. Ihr Komplement N = ℂ − V ist abgeschlossen und nirgends dicht, d. h. es gilt int(N) = ∅. Stärker gilt:
Satz (Großer Satz von Picard)
Sei p eine wesentliche Singularität von f : P → ℂ. Dann gilt eine der beiden folgenden Aussagen
(a) | Es gilt f [ Uε(p)* ] = ℂ für alle ε > 0. |
(b) | Es gibt ein c* ∈ ℂ, sodass f [ Uε(p)* ] = ℂ − { c* } für alle ε > 0. |
Kurz: Die Funktion f nimmt in jeder Umgebung von p jeden Wert mit höchstens einer Ausnahme an. Wir verweisen den Leser auf die Literatur für einen Beweis des Satzes.
Beispiel
Für die Funktion exp(1/z) auf ℂ* ist c* = 0 der Ausnahmepunkt. Jeder andere Punkt wird in jeder Umgebung Uε(0)* des Nullpunkts angenommen (und automatisch dann sogar unendlich oft, da wir die punktierte Umgebung beliebig verkleinern können).
f : ℂ* → ℂ mit f (z) = exp(1/z) für alle z ≠ 0.
Die Singularität ist wesentlich, sodass sich die Farben dort häufen. Das bei Vergrößerung unruhige Bild bei 0 entsteht durch kaum zu vermeidende Rechenfehler.
f : ℂ* → ℂ mit f (z) = exp(1/z2) für alle z ≠ 0.
Die roten Punkte bei 0 sind erneut Rechenfehler.
f : ℂ* → ℂ mit f (z) = sin(1/z) für alle z ≠ 0.
f : ℂ* − N → ℂ mit
f (z) = csc(1/z) = 1/sin(1/z) für alle z ∈ ℂ* − N,
wobei N = { 1/(k π) | k ∈ ℤ* }.