Residuen
Sei f : P → ℝ holomorph, und sei p eine isolierte Singularität von f. Weiter sei R ∈ ] 0, ∞ ] mit UR(p)* = UR(p) − { p } ⊆ P und
f (z) = ∑n ∈ ℤ an (z − p)n für alle z ∈ UR(p)*
die zugehörige Laurent-Entwicklung von f bei p (mit Innenradius r1 = 0). Dann gilt für jedes r ∈ ] 0, R [ und U = Ur(p) aufgrund der nach normaler Konvergenz möglichen Vertauschung von Integration und Summation:
∫∂U f (z) dz = ∑n ∈ ℤ an ∫∂U (z − p)n dz = a−1 2 π i.
Nur das Integral über den Summanden a−1 (z − p)−1 mit Wert a−1 2π i bleibt übrig. Alle anderen Summanden sind aufgrund der Existenz von Stammfunktionen Null.
Direkter lässt sich dies auch mit der Koeffizientenformel für die Laurent-Entwicklung einsehen. Denn es gilt
a−1 = 12π i ∫∂U f (z)(z − p)−1 + 1 dz = 12π i ∫∂U f (z) dz.
Das Vertauschungsargument bleibt dennoch eindrucksvoll, und es lässt sich spielerisch durchführen. Eines der ersten Erlebnisse in der Funktionentheorie ist das Hauptbeispiel
∫∂Ur(0) zn dz = 0 für n ≠ −1, ∫∂Ur(0) z−1 dz = 2π i.
Ein Integral über eine Laurent-Reihe fischt sich durch die Vertauschung nur den Koeffizienten für die Potenz −1 heraus, bis auf den konstanten Faktor 2π i. Das Integral über 1/z ist der Kern der Funktionentheorie. Der geschlitzte Logarithmus erklärt, warum das Integral nicht verschwindet, und warum 2π i herauskommt.
Der (−1)-Koeffizient verdient als Überbleibsel besondere Beachtung:
Definition (Residuum)
Sei f : P → ℂ holomorph, und sei p eine isolierte Singularität von f. Weiter sei a−1 der (−1)-Koeffizient der Laurent-Entwicklung von f bei p. Dann heißt
resp(f) = a−1
das Residuum von f bei p. Weiter setzen wir resp(f) = 0 für alle p ∈ P.
Aus der Definition ergibt sich (Übung):
Satz (Residuum Null)
Sei f : P → ℂ holomorph, und sei p eine isolierte Singularität von P. Dann gilt resp(f) = 0 genau dann, wenn f in einer punktierten Umgebung Uε(p)* von p eine Stammfunktion besitzt. Weiter ist resp(f) die eindeutige komplexe Zahl c, für die g : P → ℂ mit g(z) = f (z) − c/(z − p) in einer punktierten Umgebung Uε(p)* von p eine Stammfunktion besitzt.
Wir versammeln sieben Rechenregeln für Residuen (Nachweise als Übung). Dabei ist stets p eine isolierte Singularität von P oder ein Element von P.
Regel 1: Linearität
Seien f, g : P → ℂ holomorph. Dann gilt für alle a, b ∈ ℂ:
resp(a f + b g) = a resp(f) + b resp(g).
Regel 2: Ableitung
Sei f : P → ℂ holomorph. Dann gilt resp(f ′) = 0.
Regel 3: Hebbare Singularität
Sei f : P → ℂ holomorph, und sei p hebbar. Dann gilt resp(f) = 0.
Regel 4: Einfacher Pol
Sei f : P → ℂ holomorph und p ein Pol erster Ordnung von f. Dann gilt
resp(f) = limz → p (z − p) f (z).
Regel 5: Divisionsregel
Seien g, h : P → ℂ holomorph, p ∈ P und h(p) = 0, g(p) ≠ 0, h′(p) ≠ 0. Sei f = g/h, sodass f : P − { p } → ℂ in p einen einfachen Pol besitzt. Dann gilt:
resp(f) = limz → p (z − p) g(z)h(z) = g(p)h′(p).
Regel 6: Pol höherer Ordnung
Sei f : P → ℂ holomorph und p ein Pol von f der Ordnung k. Sei g mit g(z) = (z − p)k f (z) holomorph fortgesetzt nach p. Dann gilt
(k − 1)! resp(f) = g(k − 1)(p).
Für k = 2 gilt speziell resp(f) = g′(p).
Regel 7: Logarithmische Ableitung
Seien f, g : P → ℂ holomorph, p ∈ P und k = op(f) ∈ ℤ. Dann gilt für die logarithmische Ableitung f ′/f:
resp(f ′/f) = k, resp(g f ′/f) = g(p) k.
Wir diskutieren die wichtigen Regeln für die Pole noch genauer.
Zur Regel für einfache Pole
Ist p ein einfacher Pol von f, so gilt
f (z) = a−1z − p + a0 + a1 (z − p) + a2 (z − p)2 + … bei p,
wobei „bei p“ genauer „in einer punktierten Umgebung Uε(p)* von p“ bedeutet. Multiplizieren wir mit z − p, so erhalten wir
(z − p) f (z) = a−1 + a0 (z − p) + a1 (z − p)2 + a2 (z − p)3 + … bei p.
Die Funktion g(z) = (z − p) f (z) können wir also holomorph nach p durch g(p) = a−1 fortsetzen. Gleichwertig ist die Limesformel für das Residuum a1 der Regel für einfache Pole.
Zur Divisionsregel
Die Divisionsregel wird oft als die nützlichste Regel des Residuenkalküls bezeichnet. Ist f = g/h mit g(p) ≠ 0, h(p) = 0, h′(p) ≠ 0, so gilt nach der Regel für einfache Pole:
| resp(h) | = limz → p (z − p) g(z)h(z) |
| = g(p) limz → p (h(z) − h(p)z − p)−1 = g(p) h′(p)−1. |
Zur Regel für zweifache Pole
Sei nun p ein zweifacher Pol von f. Dann gilt
f (z) = a−2(z − p)2 + a−1z − p + a0 + a1 (z − p) + a2 (z − p)2 + … bei p.
Die Isolation des Residuums a−1 ist nun etwas aufwendiger. Wir multiplizieren mit (z − p)2 und erhalten bei p:
g(z) = (z − p)2 f (z) = a− 2 + a−1 (z − p) + a0 (z − p)2 + a1 (z − p)3 + …
Wir setzen wieder g durch g(p) = a− 2 holomorph fort. Ableite nliefert
g′(z) = a−1 + 2 a0 (z − p) + 3 a1 (z − p)2 + … bei p.
Durch Auswertung ergibt sich schließlich das Residuum: g′(p) = a−1.
Der Leser kann sich die Formel für einen Pol dritter Ordnung in ähnlicher Weise vor Augen führen. Allgemein erhalten wir so die Regel für Pole beliebig hoher Ordnung.
Regel für zweifache Pole, Alternative
Ist p ein zweifacher Pol von f : P → ℂ und a− 2 der zugehörige Laurent-Koeffizient, so gilt analog zur Regel für Pole erster Ordnung:
a− 2 = limz → p (z − p)2 f (z).
Wir betrachten nun f* : P → ℂ mit
f*(z) = f (z) − a− 2 (z − p)− 2 für alle z ∈ P.
Dann hat f* einen Pol erster Ordnung in p und es gilt
resp(f) = resp(f*) = limz → p (z − p) f*(z)
nach Linearität und der Pol-Regel angewendet auf f*.
Der Residuenkalkül verallgemeinert die Regeln für die Bestimmung der Koeffizienten der Partialbruchzerlegung für einfache Polstellen. Diese Koeffizienten sind Residuen.
Beispiele
(1) | Sei f : ℂ − { i, − i } definiert durch f (z) = 2z2 + 1 = 2(z − i) (z + i). Die Regel für Pole erster Ordnung oder auch die Divisionsregel liefern resi(f) = 22 i = − i, res− i(f) = 22 (− i) = i. Die beiden Residuen sind die Koeffizienten der Partialbruchzerlegung von f (vgl. das Kapitel über rationale Funktionen in Abschnitt 1). |
(2) | Sei f : ℂ − { 0, i } definiert durch f (z) = 1z3 − i z2 = 1z2 (z − i). Es gilt resi(f) = −1 (Pol erster Ordnung). Für den Pol 0 zweiter Ordnung verwenden wir zunächst die Ableitungsmethode. Es gilt g(z) = z2 f (z) = 1z − i (holomorph fortgesetzt nach 0), g′(z) = − 1(z − i)2, res0(f) = g′(0) = 1. Für die zweite Methode berechnen wir a− 2 = limz → 0 z2 f (z) = i und f*(z) = f (z) − iz2 = − iz (z − i), res0(f) = limz → 0 (z − 0) f*(z) = 1. |