Integration über Polstellen mit Hauptwerten

Die Spur eines Integrationswegs liegt immer im Definitionsbereich des Integranden. Laufen wir geradlinig auf eine isolierte Singularität p von f zu, so können wir p mit einem kleinen Halbkreis umschiffen, bevor wir wieder geradlinig weitergehen. Speziell betrifft dies Polstellen auf der x-Achse bei einem Halbkreisweg κ_r oder einem Rechtecksweg ρ_r. Wir vereinbaren:

Ausweichen von Polstellen auf der x-Achse

Für eine gegebene Funktion f : ℂ − E → ℂ, E endlich, mit Polen p₁, …, p_n auf der x-Achse bezeichnen wir mit κ_{(r, ε)} (ε > 0 mit U_ε(p) ∩ E = { p }) den modifizierten Weg κ_r, bei dem alle Strecken [ p_k − ε, p_k + ε ] durch im Uhrzeigersinn durchlaufene Halbkreise − ∂U_ε(p)⁺ in der oberen Halbebene ersetzt werden. Analoges gilt für ρ_{r, ε} und andere Wege.

Beim Ausweichen von einfachen Polen ist nützlich:

Cuachy-Hauptwert eines Integrals

Sei [ a, b ] ein reelles Intervall, und sei p  ∈  ] a, b [. Weiter sei f : [ a, b ] → ℝ lokal integrierbar in [ a, p [ und ] p, b [. Dann heißt im Fall der Existenz

pv ∫^b_a f = lim_ε → 0 (∫^p − ε_a f + ∫^b_p + ε f ).

der (Cauchy-) Hauptwert des Integrals. Dabei steht „pv“ für engl. „principal value“. Durch Aufspaltung und Summation wird allgemeiner der Hauptwert eines Integrals für endlich viele Ausmahmepunkte p₁, …, p_n in einem Definitionsintervall erklärt. Entscheidend ist die symmetrische Annäherung an die Stelle p. Es gilt zum Beispiel

pv ∫¹₋₁ ¹_x dx = 0, pv ∫²₋₁ ¹_x dx = 0 + ∫²₁ ¹_x dx = log(2),

Mit Hauptwerten können wir insbesondere über endlich viele einfache Polstellen integrieren. Der Hauptwert ignoriert oder „löscht“ diese Pole im folgenden Sinne: Ist f (x) = c/(x − p) + g(x) mit c  ∈  ℝ und g stetig, so gilt

pv ∫^p + ε_p − ε f (x) dx = ∫^p + ε_p − ε g(x) dx für alle ε mit [p − ε, p + ε ] ⊆ [ a, b ].

Schließlich setzen wir, erneut im Fall der Existenz,

pv ∫^∞_−∞ f = lim_r → ∞ pv ∫^r_− r f.

Damit ist zum Beispiel der Hauptwert über die Identität auf ℝ gleich 0.

Das Ausweichen liefert folgende Variante des Satzes über Halbkreiswege:

Satz (Halbkreisintegrale mit einfachen reellen Polstellen)

Sei f : ℂ − E → ℂ holomorph, E endlich, f (z) = o(1/z) für z → ∞. Für alle p  ∈  E ∩ ℝ sei p ein einfacher Pol von f . Dann gilt

pv ∫^∞_−∞ f (x) dx = 2π i ∑_{p  ∈  E, Im(p) > 0} res_p(f) + π i ∑_{p  ∈  E ∩ ℝ} res_p(f).

Die Beweisidee ist sehr einfach: Der Hauptwert löscht einfache Pole, sodass wir die Beiträge der kleinen Halbkreiswege von der Residuensumme abziehen müssen (durch ein Minuszeichen dieser Beiträge erscheint dieses Abziehen in der Formel als Addition).

Beweis

Sei E′ = E ∩ ℝ. Ist p  ∈  E′ und g_p = f − res_p(f)/(z − p) der Nebenteil von f bei p, so gilt für ε hinreichend klein:

(+) I(f, − ∂U_ε(p)⁺) = − π i res_p(f) + I(g_p, − ∂U_ε(p)⁺).

Durch den Durchlauf im Uhrzeigersinn erhalten wir ein Minuszeichen und durch den Halbkreis nur π i anstelle des üblichen 2 π i. Der zweite Summand ist Allgemeinen von 0 verschieden (da wir nur über einen Halbkreis integrieren), aber er konvergiert nach der Standardabschätzung gegen 0, wenn ε gegen 0 konvergiert:

lim_ε → 0 I(f, − ∂U_ε(p)⁺) = − π i res_p(f).

Aus (+) und der Wegunabhängigkeit für g_p folgt weiter:

pv ∫^p − ε_{− p − ε} f (x) dx	= ∫^p + ε_{− p − ε} g_p(x) dx = I(g_p, − ∂U_ε(p)⁺)
	= I(f, − ∂U_ε(p)⁺) + π i res_p(f).

Damit erhalten wir (wieder mit 0-Beiträgen auf den großen Kreisbögen im Limes):

pv ∫^∞_−∞ f (x) dx	= lim_r → ∞ pv ∫^r_− r f (x) dx
	= lim_r → ∞ ∫_{κ_{r, 1/r}} f (z) dz + π i ∑_{p  ∈  E′} res_p(f)
	= 2π i ∑_{p  ∈  E, Im(p) > 0} res_p(f) + π i ∑_{p  ∈  E′} res_p(f).

Das analoge Ergebnis für Rechteckswege lautet:

Satz (Rechtecksintegrale mit einfachen reellen Polstellen)

Sei f : ℂ − E → ℂ holomorph, E endlich, f (z) = o(1) für z → ∞. Für alle p  ∈  E ∩ ℝ sei p ein einfacher Pol von f. Dann gilt

pv ∫^∞_−∞ f (x) e^i x dx = 2π i ∑_{p  ∈  E, Im(p) > 0} res_p(f e^i z) + π i ∑_{p  ∈  E ∩ ℝ} res_p(f e^i z).

Die Paradeanwendung des Satzes ist eine einfache Berechnung des Dirichlet-Integrals für den Sinus Kardinalis (die wir früher bereits durchgeführt hatten):

Beispiel: Dirichlet-Integral

pv ∫^∞_−∞ ^{e^i x}_x dx = 0 + i π res₀(e^iz/z) = i π,

pv ∫^∞_−∞ ^{e^i x}_x dx = pv ∫^∞_−∞ ^cos(x)_x dx + i ∫^∞_−∞ ^sin(x)_x dx, sodass

∫^∞_−∞ ^sin(x)_x dx = π, ∫^∞₀ ^sin(x)_x dx = π/2.

Ausgehend vom Wert π für das Dirichlet-Integral lassen sich die Integrale für sin(x)ⁿ/xⁿ durch partielle Integration unter Einsatz der Verdopplungsformeln (und ihrer Verallgemeinerungen) für den Kosinus und Sinus bestimmen:

Allgemeinere Dirichlet-Integrale

Durch die einfache Substitution „t = n x, dt = n dx“ erhalten wir

∫^∞_−∞ ^sin(nx)_x dx = ∫^∞_−∞ ^sin(t)_t dt = π für alle n ≥ 1.

Wir verwenden nun partielle Integration. Dabei geben wir einen Produktterme der Übersichtlichkeit halber gar nicht an, wenn er im Limes den Wert 0 besitzt; weiter verzichten wir auf „dx“. Wir erhalten:

∫^∞_−∞ ^sin(x)²_x² =_p. I. ∫^∞_−∞ ^{2 sin(x) cos(x)}_x = ∫^∞_−∞ ^sin(2x)_x = π.

∫^∞_−∞ ^sin(x)³_x³ = ∫^∞_−∞ ^{3 sin(x) − sin(3x)}_4 x³ =_p. I. ∫^∞_−∞ ^{3 cos(x) − 3 cos(3x)}_8 x²

=_p. I. ∫^∞_−∞ ^{− 3 sin(x) + 9 sin(3x)}_8 x = ^{− 3 + 9}₈ π = ^3 π₄.

Die nächsten Werte sind

∫^∞_−∞ ^sin(x)⁴_x⁴ = ^2 π₃, ∫^∞_−∞ ^sin(x)⁵_x⁵ = ^115 π₁₉₂, ∫^∞_−∞ ^sin(x)⁶_x⁶ = ^11 π₂₀.