Konforme Matrizen und ℂ-lineare Abbildungen

Eine wichtige (wenn auch vielleicht weniger bekannte) Matrizengruppe der linearen Algebra ist:

Die Gruppe der konformen Matrizen

Eine reelle (2 × 2)-Matrix der Form A = ((a, b); (−b, a)) mit (a, b) ≠ 0 heißt konform. In der linearen Algebra zeigt man, dass eine Matrix A genau dann konform ist, wenn sie winkeltreu und orientierungserhaltend ist, d. h. wenn

∡(v, w) = ∡(Av, Aw) für alle v, w ≠ 0 und det(A) > 0.

Die Menge der konformen Matrizen ist eine Untergruppe der Gruppe GL(2, ℝ) der invertierbaren Matrizen in ℝ^2 × 2. Nach obigen Ergebnissen ist diese Menge gleich { A_c | c  ∈  ℂ* }. Es gilt

A_c A_d = A_c d für alle c, d  ∈  ℂ*.

Das Inverse einer konformen Matrix A_c ist die Matrix A_1/c. Dies ergibt sich auch aus der Invertierungsformel für 2 × 2-Matrizen:

A_c⁻¹ = ¹_{det(A_c)} $( \begin{matrix} a & b \\ - b & a \end{matrix} )$ = ¹_r² (c; i c) = (c⁻¹; i c⁻¹) = A_c⁻¹.

Die konformen Matrizen beschreiben genau die Drehstreckungen der Ebene (mit Zentrum 0). Die Menge { A_c | c  ∈  ℂ } der konformen Matrizen einschließlich der Nullmatrix erlaubt eine einfache, aber für die Funktionentheorie sehr bedeutsame rein algebraische Beschreibung:

Satz (Charakterisierung der ℂ-linearen Abbildungen)

Sei A = ((a, b); (a′, b′))  ∈  ℝ^2 × 2. Dann sind äquivalent:

(a)	A : ℝ² → ℝ² ist ℂ-linear (als Abbildung von ℂ nach ℂ), d. h. A (α z + β w) = α A z + β A w für alle α, β, z, w  ∈  ℂ.

(b)	Es gilt a′ = − b und b′ = a, d. h. A ist konform oder die Nullmatrix.

Beweis

(a) impliziert (b):

Ist die Matrix A als Abbildung ℂ-linear, so gilt

(a′, b′) = A (0, 1) = A (i (1, 0)) = i A(1, 0) = i (a, b) = (− b, a).

Damit gilt a′ = − b und b′ = a.

(b) impliziert (a):

Sei A = ((a, b); (−b, a)). Dann ist A = A_c mit c = (a, b), sodass A die Links-Multiplikation mit c ist. Diese Multiplikation ist aufgrund der Körperaxiome ℂ-linear, woraus die Behauptung folgt.