Der Körper der komplexen Zahlen

Wir setzen

ℂ = ℝ² = ℝ × ℝ = { (x, y) | x, y  ∈  ℝ }.(Gaußsche Zahlenebene)

Die Elemente von ℂ nennen wir komplexe Zahlen. Eine komplexe Zahl z  ∈  ℂ ist ein Vektor bzw. Punkt der Ebene. Die Identifikation von ℂ mit der Ebene ℝ² vereinfacht die Konstruktion und betont die Geometrie. Sie demystifiziert zudem die Sprechweise „imaginäre Zahl“ und naive Ausdrücke wie i = $\sqrt{- 1}$ . Je nach Kontext bevorzugen wir die Notation ℂ oder ℝ². Eine Funktion f : ℂ → ℂ ist immer auch eine Funktion f : ℝ² → ℝ².

Real- und Imaginärteil

Gilt z = (x, y)  ∈  ℝ², so heißt x der Realteil und y der Imaginärteil von z. In Zeichen schreiben wir x = Re(z) und y = Im(z), sodass z = (Re(z), Im(z)). Die Funktionen Re, Im sind auf ganz ℂ definiert und reellwertig.

Wir identifizieren x  ∈  ℝ mit (x, 0)  ∈  ℝ². Damit gilt ℝ ⊆ ℂ. Jede reelle Zahl ist auch eine komplexe Zahl.

Ausgezeichnete komplexe Zahlen

Wir setzen:

0 = (0, 0)(Null, Nullpunkt)

1 = (1, 0)(Eins, reelle Einheit, erster Einheitsvektor)

i = (0, 1)(imaginäre Einheit, zweiter Einheitsvektor)

Komplexe Arithmetik

Für alle komplexen Zahlen z = (x₁, y₁) und w = (x₂, y₂) setzen wir:

z + w = (x₁ + x₂, y₁ + y₂) (komplexe Addition)

z · w = (x₁x₂ − y₁y₂, x₁y₂ + y₁x₂) (komplexe Multiplikation)

Dabei wird rechts die Arithmetik von ℝ verwendet.

Die Struktur (ℂ, +, ·, 0, 1) ist ein Körper, sodass alle Grundrechenarten erklärt sind und die vertrauten Rechengesetze gelten. Wir bezeichnen diesen Körper oft kurz mit ℂ. Für die imaginäre Einheit i gilt

i² = (0, 1)² = (−1, 0) = −1.

Damit ist der Körper ℂ der komplexen Zahlen nicht anordenbar. Denn in einem angeordneten Körper sind alle Quadrate nichtnegativ.

Für alle komplexen Zahlen z = (x, y) gilt

z = x + i y = Re(z) + i Im(z).(Standarddarstellung)

Betrag

In der Ebene ℝ² steht uns die euklidische Norm zur Längenmessung zur Verfügung. In unserem Zahlkörper ℂ dient sie uns als Betrag. Für alle z  ∈  ℂ setzen wir:

|z| = $\sqrt{Re (z)^{2} + Im (z)^{2}}$ .(Betrag, Länge)

Wir könnten auch ∥ z ∥ oder genauer ∥ z ∥₂ schreiben, was aber in ℂ nicht üblich ist.

Häufig verwendet wird die komplexe Konjugation, die für alle z  ∈  ℂ definiert ist durch

z = Re(z) − i Im(z).(komplexe Konjugation, Spiegelung an der x-Achse)

Damit können wir zusammenstellen:

Wichtige Formeln

Für alle z, w  ∈  ℂ gilt:

(a)	\|z + w\| ≤ \|z\| + \|w\|(Dreiecksungleichung)

(b)	\|z w\| = \|z\| \|w\|(Produktregel)

(c)	\|z\|² = z z

(d)	z⁻¹ = z \|z\|⁻², falls z ≠ 0(Inversenformel)

(e)	2 Re(z) = z + z, 2i Im(z) = z − z