Der Körper der komplexen Zahlen

Wir setzen

ℂ = ℝ² = ℝ × ℝ = { (x, y) | x, y  ∈  ℝ }.(Gaußsche Zahlenebene)

Die Elemente von ℂ nennen wir komplexe Zahlen. Eine komplexe Zahl z  ∈  ℂ ist ein Vektor bzw. Punkt der Ebene. Die Identifikation von ℂ mit der Ebene ℝ² vereinfacht die Konstruktion und betont die Geometrie. Sie demystifiziert zudem die Sprechweise „imaginäre Zahl“ und naive Ausdrücke wie i = $\sqrt{- 1}$ . Je nach Kontext bevorzugen wir die Notation ℂ oder ℝ². Eine Funktion f : ℂ → ℂ ist immer auch eine Funktion f : ℝ² → ℝ².

Real- und Imaginärteil

Gilt z = (x, y)  ∈  ℝ², so heißt x der Realteil und y der Imaginärteil von z. In Zeichen schreiben wir x = Re(z) und y = Im(z), sodass z = (Re(z), Im(z)). Die Funktionen Re, Im sind auf ganz ℂ definiert und reellwertig.

Wir identifizieren x  ∈  ℝ mit (x, 0)  ∈  ℝ². Damit gilt ℝ ⊆ ℂ. Jede reelle Zahl ist auch eine komplexe Zahl.

Ausgezeichnete komplexe Zahlen

Wir setzen:

0 = (0, 0)(Null, Nullpunkt)

1 = (1, 0)(Eins, reelle Einheit, erster Einheitsvektor)

i = (0, i)(imaginäre Einheit, zweiter Einheitsvektor)

Komplexe Arithmetik

Für alle komplexen Zahlen z = (x₁, y₁) und w = (x₂, y₂) setzen wir:

z + w = (x₁ + x₂, y₁ + y₂) (komplexe Addition)

z · w = (x₁x₂ − y₁y₂, x₁y₂ + y₁x₂) (komplexe Multiplikation)

Dabei wird rechts die Arithmetik von ℝ verwendet.

Die Struktur (ℂ, +, ·, 0, 1) ist ein Körper, sodass alle Grundrechenarten erklärt sind und die vertrauten Rechengesetze gelten. Wir bezeichnen diesen Körper oft kurz mit ℂ. Für die imaginäre Einheit i gilt

i² = (0, 1)² = (−1, 0) = −1.

Damit ist der Körper ℂ der komplexen Zahlen nicht anordenbar. Denn in einem angeordneten Körper sind alle Quadrate nichtnegativ.

Für alle komplexen Zahlen z = (x, y) gilt

z = x + i y = Re(z) + i Im(z).(Standarddarstellung)

Betrag

In der Ebene ℝ² steht uns die euklidische Norm zur Längenmessung zur Verfügung. In unserem Zahlkörper ℂ dient sie uns als Betrag. Für alle z  ∈  ℂ setzen wir:

|z| = $\sqrt{Re (z)^{2} + Im (z)^{2}}$ .(Betrag, Länge)

Wir könnten auch ∥ z ∥ oder genauer ∥ z ∥₂ schreiben, was aber in ℂ nicht üblich ist.

Häufig verwendet wird die komplexe Konjugation, die für alle z  ∈  ℂ definiert ist durch

z = Re(z) − i Im(z).(komplexe Konjugation, Spiegelung an der x-Achse)

Damit können wir zusammenstellen:

Wichtige Formeln

Für alle z, w  ∈  ℂ gilt:

(a)	\|z + w\| ≤ \|z\| + \|w\|(Dreiecksungleichung)

(b)	\|z w\| ≤ \|z\| \|w\|(Produktregel)

(c)	\|z\|² = z z

(d)	z⁻¹ = z \|z\|⁻², falls z ≠ 0(Inversenformel)

(e)	2 Re(z) = z + z, 2i Im(z) = z − z

Polarkoordinaten und Argument

Komplexe Zahlen z  ∈  ℂ geben wir in kartesischen Koordinaten (x, y) oder in Polarkoordianten (r, φ)_polar an. Ist der Kontext klar, schreiben wir auch kurz (r, φ) statt (r, φ)_polar.

Kartesische Re-Im-Darstellung

Schreiben wir z = x + i y, so sind immer x und y reell, d. h. es gilt z = (x, y), x = Re(z) und y = Im(z).

Polarkoordinaten

Eine komplexe Zahl z = (x, y) ≠ 0 können wir wie jeden von Null verschiedenen Vektor der Ebene in Polarkoordinaten angeben durch

z = (r, φ)_polar mit

r = |z|(Radius)

φ = arg(z) = arctan₂(x, y)  ∈  ] −π, π ](Argument, Winkel)

In der Funktionentheorie bevorzugen wir das Winkelintervall ] −π, π ] anstelle von [ 0, 2π [. Für die zweistellige Version des Arkustangens gilt also

arctan₂(x, y) = arctan(y/x) für x > 0,(rechte Halbebene)

arctan₂(x, y) = arctan(−y/x) + sgn⁺(y) π für x < 0,(linke Halbebene)

arctan(0, y) = sgn(y) π/2.(imaginäre Achse)

Polarkoordinaten sind im Argument nur modulo 2π eindeutig. Es gilt

(r, φ)_polar = (r, φ + k 2π)_polar für alle k  ∈  ℤ.

Dem Nullpunkt werden „offiziell“ keine Polarkoordinaten zugeordnet. Viele Formeln gelten aber in natürlicher Erweiterung auch für r = 0 und φ = 0 oder φ beliebig. Ein Beispiel ist

(r, φ)_polar = r exp(i φ).

Die liberale Form wird oft stillschweigend verwendet und dann ist 0 = (0, φ)_polar für alle φ. In diesem Sinne setzen wir auch arg(0) = 0, sodass arg : ℂ → ] − π, π ].

Umrechnungsformeln

Die Umrechnung zwischen kartesischen Koordinaten (x, y) und Polarkoordinaten (r, φ)_polar erfolgt durch

r = |x + iy| = $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ , φ = arctan₂(x, y) = arg(x + i y),

x = r cos(φ), y = r sin(φ).

Die Geometrie der komplexen Multiplikation

Die komplexe Addition ist die Vektoraddition. Die Formel für die komplexe Multiplikation können wir motivieren (und reproduzieren), indem wir rechnen:

(x₁ + i y₁) (x₂ + i y₂) = … = x₁x₂ − y₁y₂ + i (x₁y₂ + y₁x₂).

Dabei haben wir die linke Seite distributiv ausmultipliziert und i² = −1 verwendet. Auf diese Weise geht der Körper ℂ aus ℝ und „i² = −1“ algebraisch eindeutig hervor. Geometrisch können wir die Multiplikation wie folgt beschreiben:

Geometrische Multiplikationsregel

Das Produkt z w erhalten wir, indem die Längen von z und w multiplizieren und die Winkel (relativ zur positiven x-Achse) von z und w addieren. Kurz:

Multipliziere die Längen und addiere die Winkel.

In Polarkoordinaten lautet die Multiplikation in ℂ also einfach:

(r₁, φ₁)_polar · (r₂, φ₂)_polar = (r₁ r₂, φ₁ + φ₂)_polar.

(Dabei kann r = 0 zugelassen werden.)

Beispiele

(1)	Die Länge von i ist 1, sodass i² auf dem Einheitskreis liegt. Der Winkel von i ist π/2, sodass i² den Winkel π besitzt. Also gilt i² = (−1, 0) = −1.

(2)	Die Multiplikation mit i entspricht einer Drehung um π/2 gegen den Uhrzeigersinn: Für alle z = (x, y)  ∈  ℂ gilt die sehr wichtige Formel i z = i (x, y) = (−y, x) = − Im(z) + i Re(z). Analog ist die Multiplikation mit − i eine Drehung im Uhrzeigersinn.

(3)	Die Folge (iⁿ)_{n  ∈  ℕ} durchläuft periodisch die Zahlen 0, i, −1, − i. Denn jede Multiplikation mit i dreht einen Vektor des Einheitskreises um den Winkel π/2 gegen den Uhrzeigersinn.

(4)	Hat z die Länge r und den Winkel φ, so hat z z die Länge r² und den Winkel 0 (da φ + (−φ) = 0). Aus z z = r² ergibt sich z⁻¹ = z/r² für z ≠ 0.

Es gibt verschiedene Wege, die Multiplikationsregel zu beweisen. Man kann sie an die Spitze stellen, indem man die Multiplikation geometrisch definiert und zeigt, dass der geometrische Körper ℂ_geo identisch mit ℂ (= ℂ_alg) ist. Sind die trigonometrischen Funktionen bekannt, so lässt sich die Multiplikationsregel mit den Additionstheoremen des Kosinus und Sinus beweisen. Instruktiv (und für sich genommen bedeutsam) ist der Import der linearen Algebra:

Komplexe Multiplikation und Matrizen

Sei c = (a, b)  ∈  ℂ fest gewählt. Die komplexe Zahl c ist im Folgenden der linke Faktor der Multiplikation in ℂ. Wir wählen c, um z als Variable für den zweiten Faktor zur Verfügung zu haben.

Die Abbildung f_c : ℝ² → ℝ² mit

f_c(z) = c z für alle z  ∈  ℝ²(Multiplikation mit Linksfaktor c)

ist ein Endomorphismus des ℝ-Vektorraumes ℝ² (und für c ≠ 0 sogar ein Automorphismus). Die darstellende Matrix A_c von f_c (bzgl. der Standardbasis) erhalten wir, indem wir die Bilder von (1, 0) und (0, 1) unter f_c als Spalten in eine Matrix schreiben. Mit

f_c((1, 0)) = c 1 = c = (a, b), f_c((0, 1)) = c i = i c = (− b, a)

ergibt sich:

Darstellende Matrix der Multiplikation, I

Die Multiplikation f_c wird dargestellt durch

A_c = (c; i c) = $( \begin{matrix} a & - b \\ b & a \end{matrix} )$ .

Es gilt det(A_c) = a² + b² = r² mit r = |c|. Ist c = 0, so ist A_c die Nullmatrix. Ist (a, b) ≠ 0, so gilt

A_c = r B_c

mit einer orthogonalen Matrix B_c  ∈  ℝ^2 × 2 mit der Determinante 1. Damit ist B_c eine Rotation, und genauer ist der Winkel der Rotation das Argument von (a, b). Damit erhalten wir:

Darstellende Matrix der Multiplikation, II

Die Multiplikation f_c wird für c = (r, φ)_polar dargestellt durch

A_c = r rot_φ = r $( \begin{matrix} cos φ & - sin φ \\ sin φ & cos φ \end{matrix} )$ .

Die Multiplikation einer komplexen Zahl z mit c = (r, φ)_polar erhalten wir also, indem wir z um φ rotieren und mit r skalieren. Die Multiplikation mit z ist eine Drehstreckung (mit Zentrum 0). Dies ist äquivalent zur geometrischen Multiplikationsregel (die im Fall c = 0 trivial ist).

Die Version II gilt auch für c = 0 mit r = 0 und φ = 0. Geometrisch liegt dann aber keine Drehstreckung vor, sondern eine „Implosion“ der Ebene auf den Nullpunkt. Zwischen „c ≠ 0“ und „c = 0“ liegen Welten.

Beispiel

Sei c = (1, 1). Dann gilt c = ( $\sqrt{2}$ , π/4)_polar. Die Multiplikation mit c ist eine Drehung um π/4 gefolgt von einer Streckung um $\sqrt{2}$ . Die darstellende Matrix ist (in beiden Formen)

A_c = $( \begin{matrix} 1 & - 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} )$ = $\sqrt{2}$ rot_π/4 = $\sqrt{2}$ $( \begin{matrix} cos π / 4 & - sin π / 4 \\ sin π / 4 & cos π / 4 \end{matrix} )$ .

Die Formeln cos(π/4) = sin(π(4) = 1/ $\sqrt{2}$ = $\sqrt{2}$ /2 fallen mit ab.

Konforme Matrizen

In der linearen Algebra zeigt man, dass die reellen (2 × 2)-Matrizen der Form ((a, b), (−b, a)) mit (a, b) ≠ 0 genau die winkeltreuen orientierungserhaltenden Matrizen sind, d. h. es gilt ∡(v, w) = ∡(Av, Aw) für alle v, w ≠ 0 und det(A) > 0. Diese Matrizen heißen konform. Die Menge { A_c | c  ∈  ℂ* } der konformen Matrizen ist eine Untergruppe der Gruppe GL(2, ℝ) der invertierbaren Matrizen in ℝ^2 × 2. Es gilt (wie immer)

A_c A_d = A_c d für alle c, d  ∈  ℂ*.

Die Matrizen-Menge

{ A_c | c  ∈  ℂ } = { ((a, b); (−b, a)) | a, b  ∈  ℝ } ⊆ ℝ^2 ×2

(einschließlich der Null-Matrix) erlaubt eine rein algebraische Beschreibung:

Satz (Charakterisierung der ℂ-linearen Abbildungen)

Sei A = ((a, b); (a′, b′))  ∈  ℝ^2 × 2. Dann sind äquivalent:

(a)	A : ℝ² → ℝ² ist ℂ-linear (als Abbildung von ℂ nach ℂ), d. h. A (λ₁w₁ + λ₂w₂) = λ₁ A w₁ + λ₂ A w₂ für alle λ_1,2, w_1,2  ∈  ℂ.

(b)	Es gilt a′ = − b und b′ = a (d. h. A ist konform oder die Null-Matrix).

Beweis

(a) impliziert (b):

Ist A als Abbildung ℂ-linear, so gilt

(a′, b′) = A (0, 1) = A (i (1, 0)) = i A(1, 0) = i (a, b) = (− b, a).

Damit gilt a′ = − b und b′ = a.

(b) impliziert (a):

Sei A = ((a, b); (−b, a)). Dann ist A = A_c mit c = (a, b), sodass A die Links-Multiplikation mit c ist. Diese Multiplikation ist aufgrund der Körperaxiome ℂ-linear, woraus die Behauptung folgt.