Polarkoordinaten und Argument
Komplexe Zahlen z ∈ ℂ geben wir in kartesischen Koordinaten (x, y) oder in Polarkoordianten (r, φ)polar an. Ist der Kontext klar, schreiben wir auch kurz (r, φ) statt (r, φ)polar.
Kartesische Re-Im-Darstellung
Schreiben wir z = x + i y, so sind immer x und y reell, d. h. es gilt z = (x, y), x = Re(z) und y = Im(z).
Polarkoordinaten
Eine komplexe Zahl z = (x, y) ≠ 0 können wir wie jeden von Null verschiedenen Vektor der Ebene in Polarkoordinaten angeben durch
z = (r, φ)polar mit
r = |z|(Radius)
φ = arg(z) = arctan2(x, y) ∈ ] −π, π ](Argument, Winkel)
In der Funktionentheorie bevorzugen wir das Winkelintervall ] −π, π ] anstelle von [ 0, 2π [. Für die zweistellige Version des Arkustangens gilt also
arctan2(x, y) = arctan(y/x) für x > 0,(rechte Halbebene)
arctan2(x, y) = arctan(−y/x) + sgn+(y) π für x < 0,(linke Halbebene)
arctan(0, y) = sgn(y) π/2.(imaginäre Achse)
Polarkoordinaten sind im Argument nur modulo 2π eindeutig. Es gilt
(r, φ)polar = (r, φ + k 2π)polar für alle k ∈ ℤ.
Dem Nullpunkt werden „offiziell“ keine Polarkoordinaten zugeordnet. Viele Formeln gelten aber in natürlicher Erweiterung auch für r = 0 und φ = 0 oder φ beliebig. Ein Beispiel ist
(r, φ)polar = r exp(i φ).
Die liberale Form wird oft stillschweigend verwendet und dann ist 0 = (0, φ)polar für alle φ. In diesem Sinne setzen wir auch arg(0) = 0, sodass arg : ℂ → ] − π, π ].
Umrechnungsformeln
Die Umrechnung zwischen kartesischen Koordinaten (x, y) und Polarkoordinaten (r, φ)polar erfolgt durch
r = |x + iy| = , φ = arctan2(x, y) = arg(x + i y),
x = r cos(φ), y = r sin(φ).