Unendliche Reihen

Unendliche Reihen und ihre Werte

Sei (z_n)_{n  ∈  ℕ} eine Folge in ℂ, und sei z  ∈  ℂ. Dann bedeuten:

∑_n z_n	die Folge (s_n)_{n  ∈  ℕ} mit s_n = ∑_k ≤ n z_k für alle n
∑_n z_n = z	lim_n s_n = z
∑_n z_n konvergiert absolut	∑_n \|z_n\| konvergiert

Für alle Summandenfolgen (z_n)_{n  ∈  ℕ} ist also die zugehörige (unendliche) Reihe ∑_n z_n definiert als die Folge (s_n)_{n  ∈  ℕ} der Partialsummen. Konvergiert die Folge der Partialsummen eigentlich oder uneigentlich gegen z, so heißt z der Wert der Reihe, und dieser Wert wird ebenfalls mit ∑_n z_n bezeichnet.

Für alle z mit |z| < 1 gilt:

∑_n zⁿ = (1 − z)⁻¹(geometrische Reihe)

Dabei berechnen sich die Partialsummen zu

s_n = (1 − z^n + 1)/(1 − z)(geometrische Summe)

Die Formel für die geometrische Summe gilt für alle z  ∈  ℂ, die Konvergenz der geometrischen Reihe ∑_n zⁿ ist äquivalent zu |z| < 1.

Durch Majorisierung mit einer geometrischen Reihe erhalten wir:

Satz (Quotientenkriterium)

Sei (z_n)_{n  ∈  ℕ} eine Folge in ℂ. Weiter seien x  ∈  [ 0, 1 [ und n₀ derart, dass

|z_n + 1/z_n| ≤ x für alle n ≥ n₀.

Dann konvergiert die Reihe ∑_n z_n absolut. Zudem gilt

∑_{n ≥ n₀} |z_n| ≤ |z_n₀| (1 − x)⁻¹.

Das Kriterium ist auf die konvergente Reihe ∑_n ≥ 1 1/n² nicht anwendbar. Dagegen zeigt es (mit x = 1/2):

Satz (Konvergenz und Restgliedabschätzung der Exponentialreihe)

Sei z  ∈  ℝ. Dann konvergiert die Exponentialreihe ∑_n zⁿ/n! und es gilt

|∑_{n ≥ n₀} zⁿ/n!| ≤ 2 |z|^n₀/n₀! für alle n₀ mit n₀ ≥ 2|z| − 1.

Damit können wir die komplexe Exponentialfunktion exp : ℂ → ℂ definieren durch exp(z) = ∑_n zⁿ/n! Das Cauchy-Produkt liefert wie in ℝ das Additionstheorem exp(z + w) = exp(z) exp(w) für alle z, w  ∈  ℂ. Wir schreiben auch e^z anstelle von exp(z).