Komplexe Multiplikation und Matrizen

Sei c = (a, b)  ∈  ℂ fest gewählt. Die komplexe Zahl c ist im Folgenden der linke Faktor der Multiplikation in ℂ. Wir wählen c, um z als Variable für den zweiten Faktor zur Verfügung zu haben.

Die Abbildung f_c : ℝ² → ℝ² mit

f_c(z) = c z für alle z  ∈  ℝ²(Multiplikation mit Linksfaktor c)

ist ein Endomorphismus des ℝ-Vektorraumes ℝ² (und für c ≠ 0 sogar ein Automorphismus). Die darstellende Matrix A_c von f_c (bzgl. der Standardbasis) erhalten wir, indem wir die Bilder von (1, 0) und (0, 1) unter f_c als Spalten in eine Matrix schreiben. Mit

f_c((1, 0)) = c 1 = c = (a, b), f_c((0, 1)) = c i = i c = (− b, a)

ergibt sich:

Darstellende Matrix der Multiplikation, I

Die Multiplikation f_c wird dargestellt durch

A_c = (c; i c) = $( \begin{matrix} a & - b \\ b & a \end{matrix} )$ .

Es gilt det(A_c) = a² + b² = r² mit r = |c|. Ist c = 0, so ist A_c die Nullmatrix. Ist (a, b) ≠ 0, so gilt

A_c = r B_c

mit einer orthogonalen Matrix B_c  ∈  ℝ^2 × 2 mit der Determinante 1. Damit ist B_c eine Rotation, und genauer ist der Winkel der Rotation das Argument von (a, b). Damit erhalten wir:

Darstellende Matrix der Multiplikation, II

Die Multiplikation f_c wird für c = (r, φ)_polar dargestellt durch

A_c = r rot_φ = r $( \begin{matrix} cos φ & - sin φ \\ sin φ & cos φ \end{matrix} )$ .

Die Multiplikation einer komplexen Zahl z mit c = (r, φ)_polar erhalten wir also, indem wir z um φ rotieren und mit r skalieren. Die Multiplikation mit z ist eine Drehstreckung (mit Zentrum 0). Dies ist äquivalent zur geometrischen Multiplikationsregel (die im Fall c = 0 trivial ist).

Die Version II gilt auch für c = 0 mit r = 0 und φ = 0. Geometrisch liegt dann aber keine Drehstreckung vor, sondern eine „Implosion“ der Ebene auf den Nullpunkt. Zwischen „c ≠ 0“ und „c = 0“ liegen Welten.

Beispiel

Sei c = (1, 1). Dann gilt c = ( $\sqrt{2}$ , π/4)_polar. Die Multiplikation mit c ist eine Drehung um π/4 gefolgt von einer Streckung um $\sqrt{2}$ . Die darstellende Matrix ist (in beiden Formen)

A_c = $( \begin{matrix} 1 & - 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} )$ = $\sqrt{2}$ rot_π/4 = $\sqrt{2}$ $( \begin{matrix} cos π / 4 & - sin π / 4 \\ sin π / 4 & cos π / 4 \end{matrix} )$ .

Die Formeln cos(π/4) = sin(π(4) = 1/ $\sqrt{2}$ = $\sqrt{2}$ /2 fallen mit ab.

Konforme Matrizen

In der linearen Algebra zeigt man, dass die reellen (2 × 2)-Matrizen der Form ((a, b), (−b, a)) mit (a, b) ≠ 0 genau die winkeltreuen orientierungserhaltenden Matrizen sind, d. h. es gilt ∡(v, w) = ∡(Av, Aw) für alle v, w ≠ 0 und det(A) > 0. Diese Matrizen heißen konform. Die Menge { A_c | c  ∈  ℂ* } der konformen Matrizen ist eine Untergruppe der Gruppe GL(2, ℝ) der invertierbaren Matrizen in ℝ^2 × 2. Es gilt (wie immer)

A_c A_d = A_c d für alle c, d  ∈  ℂ*.

Die Matrizen-Menge

{ A_c | c  ∈  ℂ } = { ((a, b); (−b, a)) | a, b  ∈  ℝ } ⊆ ℝ^2 ×2

(einschließlich der Null-Matrix) erlaubt eine rein algebraische Beschreibung:

Satz (Charakterisierung der ℂ-linearen Abbildungen)

Sei A = ((a, b); (a′, b′))  ∈  ℝ^2 × 2. Dann sind äquivalent:

(a)	A : ℝ² → ℝ² ist ℂ-linear (als Abbildung von ℂ nach ℂ), d. h. A (λ₁w₁ + λ₂w₂) = λ₁ A w₁ + λ₂ A w₂ für alle λ_1,2, w_1,2  ∈  ℂ.

(b)	Es gilt a′ = − b und b′ = a (d. h. A ist konform oder die Null-Matrix).

Beweis

(a) impliziert (b):

Ist A als Abbildung ℂ-linear, so gilt

(a′, b′) = A (0, 1) = A (i (1, 0)) = i A(1, 0) = i (a, b) = (− b, a).

Damit gilt a′ = − b und b′ = a.

(b) impliziert (a):

Sei A = ((a, b); (−b, a)). Dann ist A = A_c mit c = (a, b), sodass A die Links-Multiplikation mit c ist. Diese Multiplikation ist aufgrund der Körperaxiome ℂ-linear, woraus die Behauptung folgt.