Wegzusammenhang

Definition (Zusammenhang und Wegzusammenhang)

Eine Menge P ⊆ ℂ heißt wegzusammenhängend, wenn es für alle z0, z1  ∈  P ein stetiges f : [ 0, 1 ] → P gibt mit f (0) = z0 und f (1) = z1. Ein solches f heißt auch eine z0 und z1 verbindende Kurve in P.

Erhalt des Zusammenhangs

Eine stetige komplexe Funktion f : P → ℂ erhält den Zusammenhang in beiden Varianten: Ist P (weg-)zusammenhängend, so gilt dies auch für f [ P ].

Zusammenhang der Zusammenhangsbegriffe

Ist P wegzusammenhängend, so ist P auch zusammenhängend. Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht. Für offene Teilmenge U von ℂ ist alles besser. Ist U ⊆ ℂ offen, so sind äquivalent (vgl. Analysis 2 mit Übungen):

(a)

U ist zusammenhängend.

(b)

U ist wegzusammenhängend.

(c)

U ist wegzusammenhängend mit achsenparallelen Streckenzügen.

Zur Präzisierung der dritten Aussagen setzen wir für alle z, w  ∈  ℂ:

[ z, w ]  =  { z  +  t (w − z) | t  ∈  [ 0, 1 ] }.(Strecke von z nach w)

Eine Strecke heißt achsenparallel, wenn Re(z) = Re(w) oder Im(z) = Im(w).

Wir fassen eine Strecke [ z, w ] auch als die Kurve f : [ 0, 1 ] → ℂ auf mit

f (t)  =  z + t (w − z)  für alle t  ∈  [ 0, 1 ].

Ist U offen und zusammenhängend, so gibt es also für alle z0, z1  ∈  U Punkte w0, …, wn in U mit z0 = w0, z1 = wn und [ w0, w1 ], …, [ wn − 1, wn ] ⊆ U. Zudem können die Teilstrecken alle achsenparallel gewählt werden. In einer offenen Menge ist immer genug Platz, um eine Kurve durch eine hinreichend feine „Treppe“ zu ersetzen, die ganz in der Menge liegt.

Lokal konstante Funktionen

Ein P ⊆ ℂ ist genau dann zusammenhängend, wenn jede stetige Funktion f : P → { 0, 1 } konstant ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn jede lokal konstante Funktion f : P → ℂ konstant ist. Dabei heißt f : P → ℂ lokal konstant, wenn es für jedes p  ∈  P ein ε > 0 gibt, sodass f↾(P ∩ Uε(p)) konstant ist. Lokal konstante Funktionen sind automatisch stetig. Sie sind konstant auf den Zusammenhangskomponenten von P.

Verschwinden der Ableitung

Auf Intervallen definierte reelle Funktionen sind genau dann konstant, wenn ihre Ableitung verschwindet. Mit Hilfe des Mittelwertsatzes ergibt sich für die Ebene: Sei f : P → ℝ2 reell differenzierbar mit P offen und zusammenhängend. Dann ist f genau dann konstant, wenn Jf = 0.