Konvergente Funktionenfolgen
Seien fn : P → ℂ komplexe Funktionen für n ∈ ℕ, und sei f : P → ℂ. Dann konvergiert (fn)n ∈ ℕ punktweise gegen f, falls gilt:
limn fn(z) = f (z) für alle z ∈ P.
Die Folge konvergiert gleichmäßig oder in Supremumsnorm gegen f, falls gilt
(+) limn ∥ f − fn ∥ = 0.
Dabei ist die Supremumsnorm von g : P → ℝ definiert durch
∥ g ∥ = supz ∈ P |g(z)| ∈ [ 0, ∞ ].
Die Bedingung (+) ist äquivalent zu
∀ε > 0 ∃n0 ∀n ≥ n0 ∀z ∈ P | f (z) − fn(z) | < ε.(ε-Schlauch-Formulierung)
Damit ist die gleichmäßige Konvergenz eine Verstärkung der punktweisen Konvergenz (aufgrund einer ∀ ∃ zu ∃ ∀ Vertauschung).
Notation und Einschränkung
Wir schreiben „f = limn fn punktweise“ und „f = limn fn gleichmäßig“, um die beiden Konvergenzarten zu unterscheiden. Ohne Ergänzung ist immer die punktweise Konvergenz gemeint. Weiter meint ein Zusatz „auf Q“, dass die Konvergenz auf der Teilmenge Q von P erfolgt, d. h. für die Einschränkungen der Funktionen auf Q gilt.
Eine Funktionenreihe ∑n fn ist nach Definition eine Funktionenfolge (die Folge der Partialsummen). Damit sind die Konvergenzbegriffe auch für Funktionenreihen definiert.
Wie für ℝ gilt:
Satz (Erhalt der Stetigkeit bei gleichmäßiger Konvergenz)
Es gelte f = limn fn (gleichmäßig) mit komplexen Funktionen. Dann gilt: Sind alle fn stetig, so ist auch f stetig.
Unverzichtbar in der Funktionentheorie ist (mit Beweis wie in ℝ):
Satz (Konvergenzsatz von Weierstraß, Weierstraß-Konvergenztest)
Es gelte ∑n ∥ fn ∥ < ∞ mit komplexen Funktionen fn : P → ℂ. Dann konvergiert ∑n fn absolut und gleichmäßig gegen ein f : P → ℂ. Sind alle fn stetig, so gilt dies auch für f.
In der Funktionentheorie sind „lokale Versionen“ der gleichmäßigen Konvergenz nützlich:
Definition (lokal gleichmäßige und kompakte Konvergenz)
Es gelte limn fn = f für komplexe Funktionen fn : P → ℂ.
(a) | Die Folge (fn)n ∈ ℕ konvergiert lokal gleichmäßig, falls für alle z ∈ P eine Umgebung U von z in P existiert, sodass f = limn fn gleichmäßig auf U. |
(b) | Die Folge (fn)n ∈ ℕ konvergiert kompakt, falls für alle kompakten Mengen C ⊆ P gilt: f = limn fn gleichmäßig auf C. |
Ein Kompaktheitsargument zeigt:
Lokal gleichmäßige Konvergenz impliziert kompakte Konvergenz.
Ist P lokal kompakt (d. h. für jedes z ∈ P gibt es eine kompakte Umgebung C von z in P), so gilt trivialerweise auch die Umkehrung. Die lokale Kompaktheit ist beispielsweise für P = ℚ verletzt, aber sie ist erfüllt, wenn P offen ist. Denn dann ist cl(Uε(z)) ⊆ P, ε hinreichend klein, eine kompakte Umgebung von z. Wir erhalten also:
Für offene Definitionsbereiche gilt:
Lokal gleichmäßige und kompakte Konvergenz sind äquivalent.
Das folgende klassische Beispiel illustriert die Begriffsbildung.
Beispiel
Sei U = U1(0) die offene Einheitskreisscheibe in ℂ. Wir definieren Funktionen fn : U → ℂ für alle n ∈ ℕ durch
f (z) = zn für alle z ∈ U.
Es gilt limn fn = 0 punktweise, aber nicht gleichmäßig. Die Konvergenz ist jedoch lokal gleichmäßig. Da U offen ist, ist die kompakte Konvergenz äquivalent zur lokal gleichmäßigen Konvergenz.