4. Inhalte der „Einführung in die Mathematik“

Einführung in die Mathematik 1

In geeigneter Auswahl werden behandelt:

Elementare Funktionen

Begriff der reellen Funktion, Umkehrfunktion, Verknüpfung, Funktionsgraphen und Eigenschaften der elementaren Funktionen, Grenzwerte und Stetigkeit

Der analytische Kalkül

Sekanten und Tangenten, Ableitungsregeln (anschaulich), Ableitung der elementaren Funktionen, Taylor-Entwicklung inkl. Landau-Notation (anschaulich), einfache Differentialgleichungen (ohne allgemeine Theorie), Integralbegriff (informal), Hauptsatz (ohne Beweis), Integrationsregeln

Reelle und komplexe Zahlen

rationale und irrationale Zahlen (insb. $\sqrt{2}$ ), Supremum und Infimum, Folgen und Reihen, Grenzwertregeln (informal, aber erste Begegnung mit der ε-Definition), Darstellungen reeller Zahlen, komplexe Zahlen, Zahlenebene, geometrische Multiplikationsregel, Einheitswurzeln, Fundamentalsatz der Algebra

Ebene und Raum

Vektoren im ℝ² und ℝ³, Koordinatensysteme, Skalarprodukt, Kreuzprodukt, Geraden, Ebenen, Ellipsen, Ellipsoide, Kegel, Torus, (2 × 2)-, (3 × 3)-Matrizen und Gleichungssysteme, anschauliche Diskussion: Kurven und Kurvenintegrale, Funktionen der Form f : ℝ² → ℝ (partielle Ableitung, Gradient, Tangentialebene), Vektorfelder im ℝ² und ℝ³, Nabla-Operator, einfache Mehrfachintegrale

Euklidische Geometrie

Dreiecke, Winkel, Sätze von Pythagoras, Thales und Heron, Ähnlichkeit und Kongruenz, Kreise am Dreieck, Vierecke, Polygone, Verhältnisse, geometrisches Mittel, goldener Schnitt, Strahlensätze, Zerlegungsgleichheit von Flächen, Platonische Körper, Eulersche Polyederformel

Einführung in die Mathematik 2

In geeigneter Auswahl werden behandelt:

Elementare Zahlentheorie

Teilbarkeit, Euklidischer Algorithmus, Primzahlen, Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung, Kongruenzen, Eulersche φ-Funktion, Sätze von Fermat und Euler

Diskrete Mathematik

Graphen, Darstellung durch Matrizen, Grundbegriffe der Graphentheorie (Grad, Kantenzug, Weg, Erreichbarkeit,Abstand, Zusammenhang, Kreis, Baum, Matching, Isomorphie), graphentheoretische Algorithmen und ihre Komplexität (exemplarisch), elementare Kombinatorik (Permutationen, Zählungen, Urnenmodelle, Gleichverteilung, Färbungen)

Mathematische Strukturen

Strukturbegriff, algebraische Grundstrukturen: Gruppen, Ringe, Körper, Äquivalenz- und Kongruenzrelationen, partielle und lineare Ordnungen, Unterstrukturen, Faktorstrukturen, strukturerhaltende Abbildungen

Mengenlehre

Unendlichkeit, Mächtigkeitsvergleiche, Abzählbarkeit, Überabzählbarkeit, Russell-Antinomie, Notwendigkeit einer Axiomatik, Axiome von Zermelo-Fraenkel, Rolle des Auswahlaxioms, Zornsches Lemma