1.4 Funktionen

Definition (Funktion, Abbildung, Definitionsbereich, Wertebereich)

Eine Relation f heißt eine Funktion oder Abbildung, falls für alle (x, y)  ∈  f gilt:

Es gibt kein y′ ≠ y mit (x, y′)  ∈  f. (Eindeutigkeitsbedingung)

Gilt (x, y)  ∈  f, so schreiben wir f (x) = y. Wir nennen dann y den Wert von f an der Stelle x oder für das Argument x und x ein Urbild von y unter f. Wir setzen:

Def (f) = { x | es gibt ein y mit (x, y)  ∈  f }, (Definitionsbereich von f)

Bild(f) = { y | es gibt ein x mit (x, y)  ∈  f }. (Wertebereich oder Bild von f)

Wir sagen auch, dass f eine Funktion auf der Menge Def (f) ist.

Stelle	Funktionswert
1	2
2	1
3	5
4	6
5	1

Eine Funktion f als Tabelle. Es gilt Def (f) = { 1, …, 5 }, Bild(f) = { 1, 2, 5, 6 }, f (1) = 2, f (2) = 1, f (3) = 5, f (4) = 6, f (5) = 1.

Der Funktionsbegriff ist abstrakt, allgemein und präzise. Wir müssen nicht erklären, was eine „eindeutige Zuordnung“ ist. Wir müssen die gefühlte Dynamik einer Funktion nicht einfangen. Eine Funktion ist eine „zweispaltige Tabelle“, in der links die Stellen und rechts die Funktionswerte stehen. Entscheidend ist die Eindeutigkeitsbedingung: Wir fordern, dass die Tabelle keine Einträge der Form (x, y) und (x, y′) mit y ≠ y′ enthält. Einträge der Form (x, y) und (x′, y) mit x ≠ x′ sind dagegen erlaubt, sie entsprechen der Gleichheit f (x) = f (x′) der Funktionswerte an zwei verschiedenen Stellen x und x′. Alle linken Einträge zusammengenommen ergeben den Definitionsbereich, alle rechten den Wertebereich der Funktion.

In Darstellungen, die auf eine Präzisierung des Funktionsbegriffs verzichten und diesen nur anschaulich erklären, heißt die Menge { (x, y) | f (x) = y } der Graph von f. Unsere Definition kann dann sehr griffig zum Ausdruck gebracht werden:

Wir identifizieren eine Funktion mit ihrem Graphen.

Obwohl Funktion und Graph für uns zusammenfallen, sprechen wir oft vom Graphen einer Funktion, wenn wir Visualisierungen im Auge haben.

Beispiele

(1)	f = { (0, 1), (1, 1) } ist die Funktion auf { 0, 1 } mit f (0) = f (1) = 1. Dagegen ist R = { (1, 0), (1, 1) } eine Relation mit 1 R 0 und 1 R 1, aber keine Funktion.

(2)	Setzen wir f (n) = „das größte k mit 2^k\|n“ für alle n  ∈  ℕ, so erhalten wir eine Funktion auf ℕ. Es gilt z. B. f (1) = f (3) = 0, f (2) = f (6) = 1, f (16) = f (48) = 4.

(3)	Setzen wir f (x) = x² für alle x ≥ 0, so erhalten wir die zweite Potenz f auf [ 0, +∞ [. Setzen wir g(x) = x² für alle x  ∈  ℝ, so erhalten wir die zweite Potenz g auf ℝ.

Wir hatten eine Relation R eine Relation auf M genannt, falls R ⊆ M × M. Die Sprechweise „f ist eine Funktion auf M“ weicht hiervon ab. Bei Funktionen bedeutet „auf“ den Definitionsbereich. Als Relation ist eine Funktion f eine Relation auf Def (f) ∪ Bild(f).

Im Umgang mit Funktionen dominiert die vertraute Schreibweise

f (x) = y, gelesen: „f von x gleich y“,

die Notation (x, y)  ∈  f tritt, wie (x, y)  ∈  R bei Relationen, zurück. Intuitiv können wir f (x) = y so lesen, dass die Funktion f das Objekt x auf das Objekt y abbildet, x in y umformt oder in einem abstrakten Sinne umrechnet, dem x das y eindeutig zuordnet, etwa durch einen Pfeil usw. Wichtig ist, dass eine Funktion nicht durch einen Term definiert sein muss und dass wir im Allgemeinen ein f (x) nicht einfach berechnen können.

Eine der wichtigsten Notationen für Funktionen verdient eine eigene Definition:

Definition (f : A → B, Funktion von A nach B, Wertevorrat)

Sei f eine Funktion. Wir schreiben f : A → B, falls

A = Def (f) und Bild(f) ⊆ B.

Wir sagen dann, dass f eine Funktion von A nach B ist.

B heißt ein Wertevorrat von f.

Gilt f : A → B, so ist A der Definitionsbereich von f. Dagegen verlangen wir nicht, dass die Menge B der Wertebereich von f ist, sondern dass B den Wertebereich von f umfasst. So gilt für den Sinus auf den reellen Zahlen zum Beispiel

sin : ℝ → ℝ und sin : ℝ → [ −1, 1 ], nicht aber sin : ℝ → [ 0, 1 ].

In f : A → B ist die Menge B der „ins Auge gefasste“ oder „prinzipiell zugelassene“ Wertevorrat von f. Oft kann eine Funktion f : A → B einfach definiert werden, die Bestimmung von Bild(f) dagegen sehr schwierig sein.

In der Analysis werden Funktionen f : A → ℝ untersucht, deren Definitionsbereich A eine Teilmenge der reellen Zahlen ℝ ist, sog. reelle Funktionen. Typische Definitionsbereiche sind [ 0, 1 ], ] 0, +∞ [, ℝ oder eine Menge wie ℝ* = ℝ − { 0 }, die beispielsweise bei der Funktion f mit f (x) = 1/x für alle x ≠ 0 auftritt. Wir definieren für reelle Funktionen:

Ein f : A → ℝ heißt …	falls für alle x < y in A gilt:
monoton steigend	f (x) ≤ f (y)
streng monoton steigend	f (x) < f (y)
monoton fallend	f (x) ≥ f (y)
streng monoton fallend	f (x) > f (y)

Weiter heißt f (streng) monoton, falls f (streng) monoton fallend oder wachsend ist. Schließlich nennen wir f beschränkt, falls ein y existiert mit −y ≤ f (x) ≤ y für alle x  ∈  A.