2.4 Die Körperaxiome

Definition (Körper)

Sei K eine Menge, und seien +, · : K2 → K. Weiter seien 0, 1  ∈  K. Dann heißt (K, +, ·) oder kurz K ein Körper mit additiv neutralem Element 0 und multiplikativ neutralem Element 1, falls für alle x, y, z  ∈  K gilt:

(K1)x + (y + z)  =  (x + y) + z, (Assoziativgesetz für +)
(K2)x + 0  =  x, (Neutralität von 0)
(K3)es gibt ein x′ mit x + x′  =  0, (Inverse für +)
(K4)x + y  =  y + x, (Kommutativgesetz für +)
(K5)x · (y · z)  =  (x · y) · z, (Assoziativgesetz für ·)
(K6)x · 1  =  x, (Neutralität von 1)
(K7)falls x ≠ 0:  es gibt ein x′ mit x · x′ = 1, (Inverse für ·)
(K8)x · y  =  y · x, (Kommutativgesetz für ·)
(K9)x · (y + z)  =  (x · y)  +  (x · z), (Distributivgesetz)
(K10)0  ≠  1.(Verschiedenheit von 0 und 1)

+

0

1

2

3

4

5

6

0

0

1

2

3

4

5

6

1

1

2

3

4

5

6

0

2

2

3

4

5

6

0

1

3

3

4

5

6

0

1

2

4

4

5

6

0

1

2

3

5

5

6

0

1

2

3

4

6

6

0

1

2

3

4

5

·

1

2

3

4

5

6

1

1

2

3

4

5

6

2

2

4

6

1

3

5

3

3

6

2

5

1

4

4

4

1

5

2

6

3

5

5

3

1

6

4

2

6

6

5

4

3

2

1

Additions- und Multiplikationstafel für den Restklassenkörper modulo 7 (Beispiel 3)

 Ein Körper ist also eine mit einer Addition, einer Multiplikation und zwei speziellen Elementen ausgestattete Menge, sodass die Körperaxiome (K1) − (K10) gelten. Wir schreiben wie üblich x + y statt +(x, y) und x · y oder x y statt · (x, y). Der Leser beachte, dass „ +, · : K2 → K“ beinhaltet, dass x + y, x · y  ∈  K für alle x, y  ∈  K gilt. Die Menge K ist also abgeschlossen unter + und ·.

Beispiele

(1)

ℚ, 𝔸 und ℝ bilden einen Körper, ℤ dagegen nicht: Es gelten alle Axiome außer (K7): Für 2  ∈  ℤ existiert kein x′  ∈  ℤ mit 2 · x′ = 1.

(2)

{ 0, 1 } bildet einen Körper mit der üblichen Multiplikation und der Addition 0 + 0 = 1 + 1 = 0,  0 + 1 = 1 + 0 = 1.

(3)

Ist p eine Primzahl, so bildet { 0, …, p − 1 } einen Körper, wenn wir modulo p rechnen. Man spricht vom Restklassenkörper modulo p. Sei zum Beispiel p = 7. Dann gilt 4 + 3 = 0 und 5 · 3 = 1, da 4 + 3 = 7 und 5 · 3 = 15 bei Division durch 7 den Rest 0 bzw. 1 ergeben. Damit gilt − 4 = 3 und 5−1 = 3 in diesem Körper. Beispiel (2) entspricht dem Spezialfall p = 2.

 Der Körperbegriff lässt sich informal so beschreiben:

K ist ein Körper, falls die vier Grundrechenarten der Addition, Subtraktion,

Multiplikation und Division erklärt sind und alle üblichen Rechengesetze gelten.

 „Üblich“ ist mit Vorsicht zu lesen, da 1 + 1 = 0 gelten kann, wie Beispiel (2) zeigt.

 Bei dieser Beschreibung tauchen vier Operationen auf, während in der Körperdefinition nur von der Addition und Multiplikation die Rede ist. Die Subtraktion und die Division werden aber durch die Axiome (K3) und (K7) mitdefiniert. Hierzu vereinbaren wir:

Gilt x + x′ = 0, so schreiben wir − x für x′ und nennen − x das additive Inverse von x.

Gilt x · x′ = 1, so schreiben wir x−1 für x′ und nennen x−1 das multiplikative Inverse von x.

Nun können wir eine Subtraktion und eine Division auf K einführen:

x  −  y  =  x  +  − y für alle x, y  ∈  K,  (Subtraktion in K)

x / y  =  x  ·  y− 1  für alle x, y  ∈  K mit y ≠ 0.  (Division in K)

 Man kann nun die Gesetze für das Bruchrechnen beweisen, etwa

x1y1  +  x2y2  =  x1 y2  +  x2 y1y1 y2  für alle x1, x2, y1, y2  ∈  K mit y1, y2 ≠ 0.

 Es ist bemerkenswert, dass die gesamte Schularithmetik der Grundrechenarten in zehn Axiomen eingefangen werden kann, die die beiden komplizierteren Operationen der Subtraktion und der Division nur implizit behandeln.

 Wir diskutieren noch zwei wichtige spezielle Aspekte.

Die Sonderrolle der Null bei der Division

Für alle x  ∈  K gilt:

0 · x  =  (0 + 0) x  =  0 · x  +  0 · x  für alle x  ∈  K.

Dies zeigt, dass 0 · x = 1 für kein x gelten kann, da sonst 1 = 1 + 1 und damit

0  =  1 − 1  =  (1 + 1)  −  1  =  1  +  (1 − 1)  =  1  +  0  =  1

gelten würde. Die Null kann also kein multiplikatives Inverses besitzen, wenn die

anderen Axiome gelten sollen.

„Minus mal Minus gleich Plus“

Es gilt (−1) · (1 − 1) = (−1) · 0 = 0. Nach dem Distributivgesetz gilt also

(−1) · 1  +  (−1) · (−1)  =  0,

und damit

(−1) · (−1)  =  − ((−1) · 1)  =  − (−1)  =  1.

Allgemeiner gilt für alle x, y  ∈  K

(− x) · (− y)  =  (−1) · x · (−1) · y  =  (−1) · (−1) · x · y  =  1 · x · y  =  x · y.