7.10 Konvexität
Definition (konvex, konkav)
Sei I ein Intervall und sei f : I → ℝ. Für alle a < b in I sei ga, b : ℝ → ℝ die Sekante von f durch die Punkte (a, f (a)) und (b, f (b)). Dann heißt f
| (a) | konvex, | falls f ≤ ga, b auf ] a, b [, |
| (b) | konkav, | falls f ≥ ga, b auf ] a, b [, |
| (c) | streng konvex, | falls f < ga, b auf ] a, b [, |
| (d) | streng konkav, | falls f > ga, b auf ] a, b [ für alle a < b in I gilt. |
Statt „konvex“ und „konkav“ spricht man auch von „linksgekrümmt“ bzw. „rechtsgekrümmt“. Die Konvexität bedeutet, dass f unterhalb aller Geradenstücke liegt, die zwei Punkte des Graphen miteinander verbinden. Bei der strengen Konvexität wird zusätzlich gefordert, dass f mit diesen Geradenstücken immer nur die Endpunkte gemeinsam hat.
Mit Hilfe der Differentialrechnung lassen sich die Regionen der Konkavität und Konvexität einer Funktion bestimmen. Wir diskutieren dies in der nächsten Sektion.
Beispiele
(1) | Jede Gerade ist konvex und konkav. |
(2) | exp : ℝ → ℝ ist streng konvex, log : ] 0, +∞ [ → ℝ ist streng konkav. |
(3) | Die Funktion f : ] 0, +∞ [ → ℝ mit f (x) = 1/x für alle x > 0 ist konvex. f ist identisch mit ihrer Umkehrfunktion, die also ebenfalls konvex ist. |
(4) | Die Funktion f : [ 0, 1 ] → ℝ mit f (x) = 0 für alle x ∈ [ 0, 1 [ und f (1) = 1 ist nicht stetig, aber konvex. Die Funktion g : [ 0, 1 ] → ℝ mit g(x) = −x2 für alle x ∈ [ 0, 1 [ und g(1) = −2 ist nicht stetig und streng konkav. |
(5) | Die zweite Potenz auf ℝ ist nichtmonoton und streng konvex. |
(6) | Die dritte Potenz auf ℝ ist streng monoton, streng konkav auf ] −∞, 0 ] und streng konvex auf [ 0, +∞ [. |
(7) | Die Betragsfunktion abs : ℝ → ℝ ist nicht differenzierbar, aber konvex. |
Das dritte Beispiel zeigt, dass sich die Eigenschaften „konvex“ und „konkav“ beim Übergang von f zu f −1 nicht immer austauschen.
Allgemeine geometrische Eigenschaften
(a) | Ist f stetig und streng monoton steigend, so tauschen sich „konvex“ und „konkav“ zwischen f und f −1 aus. Ist f stetig und streng monoton fallend, so bleiben „konvex“ und „konkav“ zwischen f und f −1 erhalten. |
(b) | f ist genau dann (streng) konvex, wenn −f (streng) konkav ist. |
(c) | Sind f und g konvex (bzw. konkav) und sind c, d ≥ 0, so ist auch c f + d g konvex (bzw. konkav). Die strengen Versionen gelten für c, d > 0. |
Obige Beispiele zeigen, dass eine konvexe oder konkave Funktion in den Randpunkten unstetig sein kann. Im Inneren des Intervalls erzwingen die Krümmungseigenschaften dagegen automatisch gute analytische Eigenschaften:
Stetigkeit und einseitige Differenzierbarkeit
Ist I ein offenes Intervall und f konvex oder konkav, so ist f stetig und links- und rechtsseitig differenzierbar.
Weiter gilt:
Tangentenkriterium
Tangentenkriterium
f : I → ℝ ist genau dann konvex, wenn für alle p ∈ I eine Gerade g durch (p, f (p)) existiert mit g ≤ f.
Ist f differenzierbar, so gilt dies für die Tangente g an f in (p, f (p)).
λ-Formulierung
λ-Formulierung
f : I → ℝ ist genau dann konvex, wenn für alle a < b in I und λ ∈ ] 0, 1 [ gilt:
f(λ a + (1 − λ) b) ≤ λ f (a) + (1 − λ) f (b).
Die λ-Formulierung erlaubt eine Verallgemeinerung. Ist die Funktion f konvex, so gilt für alle x1, …, xn in I und alle 0 ≤ λ1, …, λn ≤ 1 mit λ1 + … + λn = 1, dass
f (λ1 x1 + … + λn xn) ≤ λ1 f (x1) + … + λn f (xn). (Jensensche Ungleichung)
Beispiel
log : ] 0, ∞ [ → ℝ ist konkav (und −log konvex), also gilt für alle x1, …, xn > 0:
log(x1n + … + xnn) ≥ log(x1)n + … + log(xn)n.
Die Anwendung der Exponentialfunktion liefert die Ungleichung zwischen arithmetischem und geometrischem Mittel:
x1 + … + xnn ≥ elog(x1)/n … elog(xn)/n = x11/n … xn1/n = n.