8.2 Das Riemann-Integral
Definition (Riemann-Summe und Riemann-Integral)
Sei f : [ a, b ] → ℝ.
(a) | Für jede Partition p = (tk, xk)k ≤ n von [ a, b ] heißt die reelle Zahl ∑p f = ∑k ≤ n f (xk) · (tk + 1 − tk) die Riemann-Summe von f bzgl. p. |
(b) | f heißt (Riemann-) integrierbar, falls ein c ∈ ℝ existiert mit: Für alle ε > 0 existiert ein δ > 0, sodass für alle δ-Partitionen p von [ a, b ] gilt: |∑p f − c| < ε. (Integrierbarkeitsbedingung) Die Zahl c heißt dann das (bestimmte) Riemann-Integral von f. In Zeichen schreiben wir: I(f) = ∫baf = ∫baf (x) dx = c. |
∑p f ist der Inhalt der grauen Fläche, wobei Flächen unterhalb der x-Achse negativ zählen
In einer Riemann-Summe werten wir f in den Stützstellen einer Partition aus und berechnen den elementaren Flächeninhalt der entstehenden Figur. Dabei zählen Flächen unterhalb der x-Achse negativ. Wir sprechen deswegen auch von einer vorzeichenbehafteten oder signierten Flächenmessung. Mit Hilfe der Riemannschen Summen versuchen wir dann, die vom Graphen von f eingeschlossene signierte Fläche zu messen, indem wir immer feinere Partitionen zur approximativen Messung einsetzen. Die Integrierbarkeitsbedingung haben wir in einer ε-δ-Formulierung angegeben. Sie lässt sich gleichwertig auch wie folgt notieren:
Für alle Folgen (pn)n ∈ ℕ von Partitionen von [ a, b ] mit limn δ(pn) = 0 gilt
limn ∑ pn f = c. (Integrierbarkeitsbedingung, Folgenversion)
Eine suggestive Notation hierfür ist: ∫baf = limδ(p) → 0 ∑p f.
Das Integralzeichen erinnert an das Summenzeichen ∑ und suggeriert eine unendlich feine Summation. Die Definition des Integrals benötigt aber keine infinitesimalen Größen „dx“.
Man erhält eine äquivalente Definition der Integrierbarkeit, wenn man nur äquidistante Partitionen zulässt:
| ∫baf = limδ(p) → 0, p äquidistant ∑p f = limLänge(p) → ∞, p äquidistant ∑p f. |
Die letzte Form beruht auf der Beobachtung, dass für eine Folge (pn)n ∈ ℕ äquidistanter Partitionen genau dann limn δ(pn) = 0 gilt, wenn limn Länge(pn) = +∞.
Weiß man, dass f integrierbar ist, so kann man eine beliebige Folge von Partitionen mit limn δ(pn) = 0 zur Berechnung des Integrals verwenden. Wählen wir etwa äquidistante Partitionen mit linksseitigen Stützstellen xk = tk, so erhalten wir
| ∫baf = limn wn ∑k ≤ n f(a + k wn) mit wn = b − an + 1 (Berechnungsformel). |
Beispiele
(1) | Ist f : [ 0, 1 ] → ℝ konstant gleich c, so gilt für alle Partitionen p = (tk, xk)k ≤ n : ∑p f = ∑k ≤ n f (xk) · (tk + 1 − tk) = c · ∑k ≤ n (tk + 1 − tk) = c · 1 = c. Also ist ∫10c dx = ∫10f = limδ(p) → 0 ∑p f = c. |
(2) | Sei g : [ 0, 1 ] → ℝ, g(x) = x für alle x. Dann gilt für alle äquidistanten Partitionen p = (tk, xk)k ≤ n: ∑p g = ∑k ≤ n g(xk) · (tk + 1 − tk) = ∑k ≤ n xkn + 1. Es gilt tk ≤ xk ≤ tk + 1, und damit 1n + 1 ∑k ≤ n kn + 1 ≤ ∑p g ≤ 1n + 1 ∑k ≤ n k + 1n + 1. Mit der Summenformel ∑k ≤ n k = n (n + 1)/2 erhalten wir n (n + 1)2 (n + 1)2 ≤ ∑p g ≤ (n + 1) (n + 2)2 (n + 1)2. Die linke und die rechte Seite konvergieren gegen 1/2. Folglich ist ∫10x dx = ∫10g = limδ(p) → 0, p äquidistant ∑p g = 1/2. |