8.8 Der Hauptsatz

Satz (Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung)

Sei I ein Intervall, und sei f : I → ℝ (Riemann- oder Regel-) integrierbar.

Teil 1: Berechnung von Integralen mit Hilfe von Stammfunktionen

Sei F : I → ℝ eine Stammfunktion von f, d. h., F ist differenzierbar und es gilt F′ = f. Dann gilt für alle Teilintervalle [ a, b ] von I:

∫^b_af = F(b) − F(a).

Teil 2: Existenz von Stammfunktionen

Sei s  ∈  I und sei F : I → ℝ definiert durch

F(x) = ∫^x_sf (t) dt für alle x  ∈  I. (Integralfunktion von f zum Startwert s)

Dann ist F stetig und es gilt:

(a)	Ist f stetig, so ist F eine Stammfunktion von f.

(b)	Ist f eine Regelfunktion, so ist F links- und rechtsseitig differenzierbar und diese Ableitungen sind die links- bzw. rechtsseitigen Grenzwerte von f.

Die Integralfunktion F von f zum Startwert 0

Der Hauptsatz besagt grob gesprochen:

Die Integration ist die Umkehrung der Differentiation.

Unser Wissen über das Differenzieren wird so zu einem Wissen über das Integrieren. Um das bestimmte Integral einer Funktion f : [ a, b ] → ℝ zu berechnen, müssen wir „lediglich“ eine Stammfunktion F von f finden. Dann gilt

∫^b_af = F(b) − F(a).

Die Differenzen auf der rechten Seite tauchen so häufig auf, dass sich eine eigene Notation für sie etabliert hat. Wir setzen:

${F|}_{a}^{b}$ = ${F (x)|}_{a}^{b}$ = ${[F (x)]}_{a}^{b}$ = F(b) − F(a). (Auswertungsnotation)

Auf die Frage, wann f eine Stammfunktion besitzt und wie wir sie finden, gibt der Hauptsatz eine Teilantwort. Wir wählen einen Startwert s und betrachten die Integrale über f mit der festen unteren Grenze s und einer variablen oberen Grenze x. Dies definiert eine Funktion F auf I, die für stetige f eine Stammfunktion und für Regelfunktionen f eine „Quasistammfunktion“ von f ist.

Ist f : I → ℝ integrierbar und besitzt f eine Stammfunktion, so setzen wir

∫f = ∫f (x) dx = { F | F : I → ℝ, F′ = f }. (unbestimmtes Integral von f)

Die Menge ∫f heißt das unbestimmte Integral von f. Ist F eine Stammfunktion von f, so gilt

∫f = { F + c | c  ∈  ℝ },

da sich zwei Funktionen h₁ und h₂ auf I mit derselben Ableitung nur um eine Konstante unterscheiden (da (h₁ − h₂)′ = 0 ist h₁ − h₂ konstant, vgl. 7. 7). In der Praxis arbeitet man oft mit einer beliebigen Stammfunktion anstatt mit einer Menge. Man schreibt etwa

∫cos = sin + c oder ∫x² dx = x³/3.

Solange man beachtet, dass eine Stammfunktion von f nur bis auf eine Konstante eindeutig bestimmt ist, ist diese Schreibweise ungefährlich.

Beispiele

(1)	∫^e₁1/x dx = ${log (x)\|}_{1}^{e}$ = log(e) − log(1) = 1.

(2)	∫¹₀¹_1 + x² dx = ${arctan (x)\|}_{0}^{1}$ = arctan(1) − arctan(0) = π/4.

(3)	∫ 0 = 0, ∫1 = x, ∫x dx = x²/2, ∫tan = − log(cos).

(4)	∫^b_af = ${(\int f)\|}_{a}^{b}$ = (∫f) (b) − (∫f) (a).

(5)	Ist f stetig differenzierbar, so ist f eine Stammfunktion von f ′ und für alle a, b gilt: ∫^b_af ′(x) dx = ${f\|}_{a}^{b}$ = f (b) − f (a).

(6)	Sei f : ℝ → ℝ mit f (x) = −1 für x < 0 und f (x) = 1 für x ≥ 0. Dann besitzt f keine Stammfunktion. Die Integralfunktion F von f zum Startwert 0 ist die Betragsfunktion: ∫^x₀f (t) dt = \|x\| für alle x.

(7)	Sei f : [ 0, 1 ] → ℝ mit f (x) = 0 für x ≠ 1/2, f (1/2) = 1. Dann ist die Integralfunktion F von f zum Startwert 0 die Nullfunktion. Es gilt F′ ≠ f, da f (1/2) ≠ 0.

(8)

Sei f : [ 0, 1 ] → ℝ mit f (x) = x² sin(1/x²) für x ≠ 0, f (0) = 0. Dann ist f differenzierbar mit f ′(x) = 2 x sin(1/x²) − 2/x cos(1/x²) für x ≠ 0 und f ′(0) = 0. Als unbeschränkte Funktion ist f ′ nicht integrierbar. Eine Funktion, die eine Stammfunktion besitzt, muss also nicht integrierbar sein.